初中数学竞赛中的整数对x,y问题

初中数学竞赛中的整数对问题，不但涉及到因式分解和方程的有关知识，还要涉及到数论中的相关知识（如整除、奇偶性、质数、合数等），是各类数学竞赛中的热点问题。此类问题牵涉的知识面比较广、解法灵活、综合性强，因此，倍受关注。本文以近年来各级各类竞赛题中的整数对问题为例，介绍整数对问题的求解策略。

一、利用因式分解

当已知方程的一边能化为两个一次式的积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决问题。

例1、（2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛试题）设质数、满足。则数据、、2、3的中位数是（ ）

A 4 B 7 C 4或7 D 4.5或6.5

解：由（、是质数），知=或或或。解得=（7，5）或（11，13）

故2、3、5、7的中位数是4；2、3、11、13的中位数是7。

例2、（2012年中等数学第6期数学奥林匹克初中训练题）满足的正整数对（，）有（ ）对。

A 3 B 4 C 5 D 6

解：∵，和的奇偶性相反，∴或（3，168）或（7，72）或（8，63）或（9，56）或（21，

24）。解得：=（252，251）或（85，82）或（39，32）或（35，27）或（32，23）或（22，1）。故满足条件的正整数对（，）有6对。

二、利用整数的奇偶性

利用下面奇数和偶数的性质：两个连续整数中必有是一个奇数一个偶数；两个奇（偶）数的和是偶数，一个偶数与一个奇数的和是奇数；若、为整数，则有与有相同的奇偶性。 例3、（2012年全国初中数学竞赛试题10B）已知是偶数，且。若有唯一的正整数对使得成立，则这样的的个数为 。

解：由已知得，且为偶数，于是、同为偶数。所以，是4的倍数，设，则。

（1）若时，可得，与是正整数矛盾。

（2）若至少有两个不同的质因数，则至少有两个正整数对满足。

若恰是一个质数的幂，且这个幂指数不小于3，则至少有两个正整数对满足。

（3）若是质数，或恰是一个质数的幂，且这个幂指数为2，则有唯一的正整数对满足。因为有唯一的正整数对，所以，的可能值为2，3，4，5。7，9，11，13，17，19，23，25共12个。

例4、（2011年新知杯上海市初中数学竞赛题）（1）证明：存在整数、满足。（2）问：是否存在整数、满足？证明你的结论。

解：（1）=（43，1）满足。

（2）答案是否的。若存在、满足，则。从而，是奇数，进而，是奇数，于是，、为一奇一偶，故是4的倍数。由于奇数的平方除以4余1，于是，等式左边除以4余1，而等式右边除以4余3。

所以，不存在整数、满足。

三、利用整除

一个整数去除整数，有时恰好除尽，有时会有余数。在数学竞赛中，整数的整除或带余除法的问题是十分有趣的，利用整数的整除性来求解问题。

例5、（2011年全国初中数学联赛试题）不定方程的正整数解（，）有（ ）组

A 0 B 2 C 4 D 无穷多

解：若方程有正整数解（，），注意到，完全平方数被4除余0或1，从而，为奇数，为

偶数。令，代入得，，由于是偶数，是偶数，导出矛盾。所以，原方程无正整数解。

例6、（2011年四川省初中数学联赛决赛初二试题）设有个正边形，且这个正多边形的内角度数的总和能够被8整除。求的最小值。

解：由题意知，这个正多边形的内角度数的总和度数为。

由8?@可推得，2?@，得2?@。

故、中至少有一个是偶数。又≥1，≥3，且均为整数。要使最小，则=（1，4）或（2，3）。从而，的最小值为5。

例7、（2012年全国初中数学竞赛试题B）在平面直角坐标O中，满足不等式的整数点坐标（，）的个数为（ ）

A 10 B 9 C 7 D 5

四、利用一元二次方程判别式

在一个二元二次方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0求出参数的取值范围，然后求解。

例8、（2009年《数学周报》杯全国初中数学竞赛）关于、的方程的整数解有（ ）组。

A 2 B 3 C 4 D 5

五、利用一元二次方程韦达定理

在一个含有字母参数的一元二次方程中，可利用一元二次方程中的韦达定理得出两个关于根与系数的等式，再根据题中的其它条件来求解问题。

例9、（2005年"卡西欧杯"全国初中数学竞赛试题）已知p，q都是质数，且使得关于x的二次方程至少有一个正整数根，求所有的质数对（p，q）.

解：由方程的两根分别为、（），由根与系数的关系得：

①当时，即，因为均是质数，所以

②当时，即，所以，因为p、q都是质数，且，所以，解得符合条件的质数对：. ③当时，即，所以，，不存在满足条件的质数对.

④当，即，所以，，于是.

综上所述，满足条件的质数对或

六、利用另设参数

通过另设参数，能使原式中的两个变量隐蔽的关系变得比较明朗，使参数成为解决问题的中介。

例10、（2012年中等数学第3期数学奥林匹克初中训练题）满足的整数对（，）（ ）

A 只有一对 B 恰有两对 C 至少有三对 D 不存在

七、利用整数分离

在某些含有分式的方程中，可先将分式进行整式分离，分离后再利用整除性来求解问题。 例11、（2004年全国初中数学竞赛天津市试题）

方程的整数解共有（ ）

A 1 B 2 C 3 D 4

练习题：

1、（2005年全国初中数学竞赛广东卷试题）某校举行春季运动会时，由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人。

析解：原队列中增加120人或减少120人，都能组成一个正方形队列，所以总人数为完全平方数，因此可设原有人数为x人，增加120人后总人数为，减少120人后总人数为，则有，两方程相减后得：，

因式分解得：，因为、同奇偶，且>>0