初中数学竞赛题

初中数学竞赛题

一．选择题：（每小题4分，共40分）

221．已知y?1且2x?y?1，则2的最小值为 （ ） x?16x?3y

A. 1927 B. 3 C. D.13 27

3232方程x?的整数解?x，y?的解的个数 （ ） 6x?5x?y?y?2

A .0 B. 1 C. 3 D. 3则这个圆共转了（ ）

A、6圈 B、6.5圈 C、7圈 D、8圈

4.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个.现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是

( ).

A.14 B.16 C.18 D.20

5. 如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A，B，C均

是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）

A． B． C． D． 6. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，若要在该纸

片中剪下两个外切的圆⊙O1和⊙O2，要求⊙O1和⊙O2的圆心均在对

角线BD上，且⊙O1和⊙O2分别与BC、AD相切，则O1O2的长

为（ ）

A

．cm B．cm C．cm D．2cm

7. 设a、b、c均为正数，若c（b+a）＜b（a+c）＜a（c+b），则a、b、c三个数的大小关系是（ ）

A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜

a

8. 矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合， 设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（ ）．

A.

738758731675 16

9.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值是( )

A.164 B.158 C.168. D.154

10.抛物线y?ax与直线x?1，x?2，y?1，y?2围成的正方形有公共点，则实数a

的取值范围是 ( ) A、

2

1111

?a?1 B、?a?2 C、?a?1 D、?a?2 4224

二．填空题：（每小题4分，共40分） 11. 若

123321111??7，则???_________. xyzxyzxyz

2

2

12. 方程?的较大根为a，方程x的较?2006x?2007?0?2007x?2006?2008x?1?0

小根为b，则a?b? 。

k

13. 如图，A、B是双曲线 y= x (k>0) 上的点， A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=

14. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是 2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为 ． 15. 如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两 顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10， 那么点O到顶点A的距离的最大值为 _________ ．

16. 已知实数x，y满足方程组则x+y= _________ ．

17. 已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是，方差是

S2，那么另一组数据2x1– 1，

D

C

E

，

C

22

2x2 – 1，2x3– 1，…，2xn– 1的平均数是，方差是

F

18. 将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设

Aos?D

CF此点为F，若AB：BC=4：5，则c的值是__________. BE

19. 仔细阅读以下内容解决问题：

偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用，以

2001年全国联赛第二试第一题为例给同学们作一介绍，问题建立数学模型后实际上是求：

y=5a+6ab+3b﹣30a﹣20b+46的最小值，先介绍求导公式，（x）′=nx，a′=0（a为常数），当ya′=10a+6b﹣30=0，yb′=6a+6b﹣20=0时，可取得最小值（ya′的意思是关于a求导，把b看作常数，（5a）′=10a，（6ab）′=6b，（3a﹣20b+46）′=0）．解方程，得a=，b=，代入可得

y=，即是最小值．同学们：以上内容很有挑战性，确保读懂后请解答下面问题：运用阅读材料中的知识求s=4x+2y+4xy﹣12x﹣8y+17的最小值．

20. 已知关于x的不等式组?222222nn﹣1?5?2x??1无解，则a的取值范围是 ____ 。

?x?a?0

三.解答题：（每小题10分，共70分）

21. .整数a使得关于x，y的方程组

求整数a的值．

对于每一个实数b总有实数解，

22. 六个面分别标有1，1，x2+1，x，x+1，2x-1的小正方体的表面展开图如图所示，

（1）是否存在x，使得正方体相对的两面上数字相等，若存在，求出这样的x；若不存在，请说明理由；

（2）若六个面上的6个数之和为15，且x为正数，求出满足条件的x；

（3）掷这个正方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某点的横坐标，朝下一面的数位该点的纵坐标，按照这样的规定，每抛一次该小正方体，就

得到平面内一个点的坐标，求在（2）的条件下抛一次正方体所

得的点恰在直线y=2x-1上的概率．

23.如图1，A，B，C三个容积相同的容器之间有阀门连接，从某一时刻开始，打开A容器阀门，以4升/分的速度向B容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B容器阀门，以10升/分的速度向C容器内注水5分钟，然后关闭．设A，B，C三个容器内的水量分别为ya，yb，yc（单位：升），时间为t（单位：分）．开始时，

B容器内有水50升，yayc与t的函数图象如图

2所示，请在0≤t≤10的范围内解答下列问题：

（1）求t=3时，yb的值．

（2）求yb与t的函数关系式，并在图2中画出

其函数图象．

（3）求ya：yb：yc=2：3：4时t的值．

24. 首先，我们看两个问题的解答：

问题1：已知x＞0，求的最小值．问题2：已知t＞2，求的最小值． 问题1解答：对于x＞0，我们有：时，上述不等式取等号，所以的最小值≥．当，即．问题2解答：令x=t﹣2，则t=x+2

，于是

．由问题1的解答知，的最小值，所以的最小值是．弄清上述问题及解答方法之后，解答下述问题：在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k＞0，b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3．

（1）用b表示k；

（2）求△AOB面积的最小值．

25. 如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是多少？

x x轴B,C的26.如图，已知点-2,0) -4,0)，过点⊙直线切于点第二象限）,点于轴的对称点是A，直线A与相交点C(x??1相B(11与A（A在A关P