2015全国初中联赛试题答案(初二)

2015年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试(A)

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1. 若x2 y2 2z2 xy 2yz 2x 2 0，则x y z （ ） A.3. B.4. C.5. D.6. 【答】C.

∵x y 2z xy 2yz 2x 2 0，∴2x 2y 4z 2xy 4yz 4x 4 0， ∴(x 2xy y) (x 4x 4) (y 4yz 4z) 0，

∴(x y) (x 2) (y 2z) 0，∴x y 2，z 1，∴x y z 5.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a2 b2b2 c2c2 a2

2. 设实数a,b,c满足：a b c 3，a b c 4，则 （ ）

2 c2 a2 b

2

2

2

A.9. B.6. C.3. D.0.

【答】A.

∵a b c 3，a b c 4，

2

2

2

a2 b2b2 c2c2 a24 c24 a24 b2∴ (2 c) (2 a) (2 b)

2 c2 a2 b2 c2 a2 b

6 (a b c) 9.

3．锐角△ABC中，BC边的中垂线和 ABC的角平分线相交于点P．若 A 72 ， ACP 24 ，

则 ABP＝ （ ）

A. 24°. B. 28°. C. 30°. D. 36°. 【答】B. ∵直线BP为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP． ∵直线PM为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP.

在△ABC中，三内角之和为180°，∴3∠ABP＋∠A＋∠ACP＝180°，即3∠ABPB

＋72°＋24°＝180°，解得∠ABP＝28°．

4. 三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为 （ ） A.11. B.12. C.17. D.18. 【答】B.

设三角形的三边长为a,b,c（a b c），则3a a b c 24，2a a (b c) 24，所以

8 a 12，故a的可能取值为8，9，10或11，满足题意的数组（a,b,c）可以为：

（8，8，8），（9，9，6），（9，8，7），（10，10，4），（10，9，5），（10，8，6）， （10，7，7），（11，11，2），（11，10，3），（11，9，4），（11，8，5），（11，7，6）， 共12组，所以，三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12. 5.

设A A的最 大整数为 （ ）

A.2017. B.2016. C.2015. D.2014. 【答】D.

对于正整数n，有

1

111221n 12212n 112

(1 ) () () ( )，

n2(n 1)2nn(n 1)2nnn 1nn 1

n 1111

，故

1

nn 1nn 1

A 111111111

， (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2015

122334201420152015因此，不超过A的最大整数为2014.

10b10a

6. 满足a 2， 5b 4的整数对(a,b)的组数为 （ ）

a b2a2 b2

A.4. B.3. C.2. D.1.

【答】C.

易知ab 0，由题设条件可得

105 a4 b

，设比值为k，则5 a kb， 5 a kb， 22

a bba

4 b ka，所以(5 a)b kb2，(4 b)a ka2，所以k(a2 b2) (4 b)a (5 a)b 4a 5b 2ab.

1022

k(a b) 10，所以4a 5b 2ab 10，即2ab 4a 5b 10 0，分，所以 k22

a b

5

解因式得(2a 5)(b 2) 0，所以b 2或a （舍去）.

2

10b

把b 2代入a 2 5得(a2 4)(5 a) 20，则a2 4和5 a都是20的正约数，验证可知：2

a b

a 1和a 4符合.

又因为

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1. 在直角△ABC中， ACB 90

，AC BC

AD为 CAB的平分线，

BE AD交AD的延长线于点E，则AE ______.

延长AC、BE交于点F，易证△BCF≌△ACD，∴CF CD，BF

AD.

A

易证△ABE≌△AFE，∴AF AB，BE EF ∴CD CF AF AC AB AC 2

∴AD ∴AE

1

BF.

2

BE

1

AD

2

2. 已知a,b为实数，对任何满足0 x 1的实数x，都有|ax b| 1成立，则a的最大值为______. 【答】2.

令x 0，得|b| 1；令x 1，得|a b| 1.于是可得|a| |(a b) b| |a b| |b| 1 1 2，所以a 2.

又易知：a 2，b 1时，对任何满足0 x 1的实数x，都有|2x 1| 1成立. 所以，a的最大值为2.

3. 设n是小于100的正整数且使2n 3n 2是6的倍数，则符合条件的所有正整数n的和是_____. 【答】1634.

∵2n 3n 2是6的倍数，∴2|(2n 3n 2)，∴2|3n，∴2|n，设n 2m（m是正整数），则2n 3n 2 8m 6m 2 6m 6m 2(m 1).

∵2n 3n 2是6的倍数，∴m 1是3的倍数，∴m 3k 1或m 3k 2，其中k是非负整数. ∴n 2(3k 1) 6k 2或n 2(3k 2) 6k 4，其中k是非负整数.

∴符合条件的所有正整数n的和是（2＋8＋14＋…＋86＋92＋98）＋（4＋10＋16＋…＋82＋88＋94）＝1634.

4.将数字1，2，3，……，34，35，36填在6×6的方格中，每个方格填一个数字，要求每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填6个数字的和的最小值为______.

【答】63.

设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A,B,C,D,E,F. 因为A所在行前面需要填两个比A小的数字，所以A不小于3；因为B所在行前面需要填两个比B小的数字，且A及A所在行前面两个数字都比B小，所以B不小于6.

同理可知：C不小于9,D 不小于12,E 不小于15,F 不小于18.

因此，第三列所填6个数字之和A＋B＋C＋D＋E+F 3 6 9 12 15 18 63.

.

2

2

2

2

2

2222

第一试(B)

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 题目和解答与（A）卷第1题相同. 2. 题目和解答与（A）卷第2题相同. 3．题目和解答与（A）卷第3题相同. 4. 题目和解答与（A）卷第4题相同.

5. |x 1| |x 2| |x 3| |x 4|的最小值为 （ ） A.4. B.5. C.6. D.10. 【答】A.

|x 1| |x 4| |(x 1) (x 4)| 3，当1 x 4时取得等号； |x 2| |x 3| |(x 2) (x 3)| 1，当2 x 3时取得等号；

因此，|x 1| |x 2| |x 3| |x 4| 3 1 4，当2 x 3时取得等号. 所以，|x 1| |x 2| |x 3| |x 4|的最小值为4. 6. 题目和解答与（A）卷第6题相同. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1.设[x]表示不超过x

的最大整数，则 的值为_____. 【答】5050.

对于正整数n

，显然有n

n

1，所以 n，所以

＝1＋2＋3＋…＋100＝5050.

2. 题目和解答与（A）卷第1题相同. 3. 题目和解答与（A）卷第3题相同. 4. 题目和解答与（A）卷第4题相同.

第二试 （A）

一、（本题满分20分）求所有的两位数A，使得A的末两位数字构成的数恰好为A. 解 设A 10a b，其中a,b均为整数且1 a 9，0 b 9，则

2

A2 A (10a b)2 (10a b) 100a2 10a(2b 1) b2 b. ……………………5分

由题意可知，A A的末两位数字均为0，所以b b b(b 1)必为10的倍数，验证可知：只可能

2

2

b＝5或6或0. ……………………10分

当b＝5时，A A 100a 90a 20 100a 100a 10(2 a)，只可能a 2，此时A＝25； 当b＝6时，A A 100a 110a 30 100a 100a 10(3 a)，只可能a 7，此时A＝76；

2

2

2

2

2

2

当b＝0时，A2 A 100a2 10a，只可能a 0，不符合，舍去；

综上所述，符合要求的两位数为25和76. ……………………20分 二、（本题满分25分）在四边形ABCD中，AC 4，CD 3， ADB ABD ACD 45 ，求BC.

解 在CD的延长线上取一点E，使 DAE CAB，则 CAE 90 ,又

E

ACD 45 ，∴ AED 45 ，∴AE AC.

∵ ADB ABD 45 ，∴AD AB. ……………………10分 ∵AE AC， AD AB，∴△EAD≌△CAB，∴B DAE CAB，C ED. 在Rt△EAC中， AC 4， AEC 45

，∴CE ，

∴ED CE CD

3，∴BC 3.……………………25分

三．（本题满分25分）已知实数a,b,c满足条件

abc

0.求代数式222

(b c)(c a)(a b)

abc

的值.

b cc aa b

解 (

abc111abc )( )＝ 222

b cc aa bb cc aa b(b c)(c a)(a b)

a11b11c11 ( ) ( ) ( ) b cc aa bc ab ca ba bb cc a

＝

a(c b)b(a c)c(b a)

＝0 ①

(b c)(c a)(a b)(b c)(c a)(a b)(b c)(c a)(a b)

……………………10分

显然a,b,c互不相等，所以

(a b)(b c)(c a)(

111 ) b cc aa b

(a b)(c a) (a b)(b c) (b c)(c a)

ac a2 bc ab ab ac b2 bc bc ab c2 ac

1

a2 b2 c2 ab bc ac [(a b)2 (b c)2 (c a)2] 0，

2

111∴ 0， b cc aa b

abc 结合①式得＝0. ……………………25分 b cc aa b