高中物理奥林匹克竞赛解题方法讲座：(14)近似法(含答案)

高中物理奥赛经典

十四、近似法

方法简介

近似法是在观察物理现象、进行物理实验、建立物理模型、推导物理规律和求解物理问题时，为了分析认识所研究问题的本质属性，往往突出实际问题的主要方面，忽略某些次要因素，进行近似处理.在求解物理问题时，采用近似处理的手段简化求解过程的方法叫近似法.近似法是研究物理问题的基本思想方法之一，具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理，是从事创造性研究的重要能力之一.纵观近几年的物理竞赛试题和高考试题，越来越多地注重这种能力的考查.

赛题精讲

例1：一只狐狸以不变的速度?1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以

不变的速率?2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，

猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速

度的大小.

解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做图14—

1

2?2匀速率曲线运动，根据向心加速度a?r,r为猎犬所在处的曲率

半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变

化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于?2大小不变，如果

求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.

猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.

在所求时刻开始的一段很短的时间?t内，猎犬运动的轨迹可近似

看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度

2?2 a?R图14—2—甲

其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在?t时间内，设狐狸与猎犬分别 到达F?与D?，猎犬的速度方向转过的角度为???2?t/R

而狐狸跑过的距离是：?1?t≈?L 因而?2?t/R≈?1?t/L，R=L?2/?

1

近似法第1页（共12页）

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2?2所以猎犬的加速度大小为a?=?1?2/L R

例2 如图14—2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为 时，收绳速率为?，则该位置船的速率为多大？

图14—

2 图14—2—甲

解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.

设船在 角位置经?t时间向左行驶?x距离，滑轮右侧的绳长缩短?L，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有

?L=?xcos

两边同除以?t得：?L?x?cos ，即收绳速率???船cos ?t?t

因此船的速率为?船??cos

例3 如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角

速率?绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？

图14—

3 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角? 很小

时，有近似关系式? ?sin? .

若取绳圈上很短的一小段绳AB=?L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为? ，这段绳两端所受的张力分别为TA和TB（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以TA和TB的大小相等，均等于T. TA和TB在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为?m，根据牛顿第二定律有：2Tsin? ??m?2R； 2

因为?L段很短，它所对应的圆心角? 很小所以sin? ?? 22

将此近似关系和?m?R?? ?mm? ? 2?R2?

图—14—3—甲 m?2R代入上式得绳中的张力为T? 2?

近似法第2页（共12页） 例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿

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斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球

从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的

时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆

弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.

在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的

光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交

接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，

且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止

出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.

解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为l1、l2、

l3，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间记为T1，再从B

到C的时间为T2，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为T3，

由题意知T1?T2?T3，可得l1：l2：l3=3：4：5，

由此能得T1与T2的关系. 因为l1?

所以1gT122l1?gT1T2 l1T?1 l22T2

2T1 3因为l1：l2=3：4，所以 T2?

小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t1?T1，经各水平段所需时间之和记为t2，则从A到C所经时间总和为t?T1?t2，最短的t2对应t的下限tmin，最长的t2对应t的上限tmax.

小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时t2最短，其值即为T2，故

5tmin=T1?T2?T1. 3

t

2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降 近似法第3页（共12页）