高中物理奥林匹克竞赛解题方法讲座：(13)降维法(含答案)

高中物理奥赛经典

十三、降维法

方法简介

降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。

赛题精讲

例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物

体，物体重为G，静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力F=G/2

推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面

间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？

解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力

的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。但这四个力不在同一

平面内，不容易看出它们之间的关系。我们把这些力分解在两个

平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。

将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察，

图13—1—甲、图13—1—乙所示。

如图13—1—甲所示，推力F与重力沿斜面的分力G1的合力F′为：

F??F2?G12?2G 2

F′的方向沿斜面向下与推力成α角，

则 tan??G1?1F???45?

这就是物体做匀速运动的方向

物体受到的滑动摩擦力与F′平衡，即 f?F??

所以摩擦因数：??2G/2 f2G/26 ??FNGcos30?3

例2：如图13—2所示，一个直径为D的圆柱体，其侧面刻有螺距为h的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？

解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h，当圆柱转n

周时，外侧面上一共移动的水

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平距离为2?D1n?at2 ① 22

12gt ② 2圆弧槽内小球下降的高度为nh?

解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球

能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为

a??Dg

h

例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆

球B的半径R=20cm，质量M=20kg，悬线长

L=30cm。正方形物块A的厚度△h=10cm，质量

m=2kg，物体A与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2。求：

（1）墙对物块A的摩擦力为多大？

（2）如果要物体A上施加一个与墙平行的外力，使物体A在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a=5m/s2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？

解析：这里物体A、B所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比

较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析A、B间压力和A对墙的压

力；在与墙面平行的平面内分析A物体沿墙水平运动时的受力情况。

（1）通过受力分析可知墙对物块A的静摩擦力大小等于物块A的

重力。（2）由于物体A贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦

力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受

竖直向下的重力，所以推力F方向应斜向上。

设物体A对墙的压力为N，则沿垂直于墙的方向，物体B受到

物体A的支持力大小也为N，有f??N,而N?Mgtan 又因为sin ??h?R3?L?R5所以tan ?3 4

在与墙面平行的平面内，对物体A沿竖直方向做受力分析，如

图13—3—甲所示有

Fsin??mg

沿水平方向做受力分析，有 Fcos??f?ma

由以上各式，解得

F?(mg)2?(f?ma)2?205N,a?arcsi(/5)

因此，对物体A施加的外力F的大小为205N，

方向

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沿墙面斜向上且与物体A水平运动方向的夹角为5/5).

例4：一质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13—4所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度??40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为?0?0.050m/s的匀

速运动，求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）

解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向

与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接

不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向，而

且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑“降维”，即选一个合适的

角度观察。我们从上往上看，画出俯视图，如图13—4—甲所示。

我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的

方向，钢件有向前的速度?0，左边圆住有向右的速度r?,则钢件相

对于圆柱的速度是?0与r?的矢量差，如图中△v，即为钢件相对于

圆柱的速度，所以滑动摩擦力f的方向与△v，的方向相反，如图13—4—甲所示。

以钢件为研究对象，在水平面上受到推力F和两个摩擦力f的作用，设f与圆柱轴线的夹角为θ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有

F?2fcos ?2fv0?2f?vv0

v?(r?)2

02 ①

再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出FN，如图

13—4—乙所示，钢件受重力G和两个向上的支持力FN，且

G=2FN，

图13—4—乙 G所以把FN?,f??FN 代入①式，得 2

推力F?2?FN?v0

2v0?(r?)2?2?v0mg??2N 222v0?(r?)

例5：如图13—5所示，将质量为M的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。

解析：要求张力，应在链条上取一段质量元?m进行研究。因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。

作出俯视图13—5—甲，设质量元?m两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆

心角θ很小，所以F?2Tsin，即F=Tθ。

2

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