双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型_王志新

液位实验设计

2006年　4月第42卷　第2期北京师范大学学报(自然科学版)

JournalofBeijingNormalUniversity(NaturalScience)Apr.2006

Vol.42　No.2

双容水箱上的几种液位控制实验及

被控对象的数学模型*

王志新1,3)　谷云东2)?　王加银1)　宋雯彦1)

(1)北京师范大学数学科学学院;2)北京师范大学管理学院:100875,北京;

3)中国青年政治学院,100089,北京)

摘要　介绍了双容水箱液位控制实验仪的实物系统装置;面向不同的实际背景,设计了几种典型的控制实验,并用机制分析法分别建立了被控对象的数学模型;分析了上述被控对象的能控性和能观性.

关键词　液位控制;数学模型;能控性;能观性分类号　O232

　　液位控制问题是工业生产过程中的一类常见问

题,例如在饮料、食品加工,溶液过滤,化工生产等多种行业的生产加工过程中都需要对液位进行适当的控制.在实际生产中,通常采用系统辨识的方法,用一阶纯滞后系统来逼近复杂的实际系统,建立一个简化的数学模型[3].然而对于一些控制精度要求较高的场合,例如核电站的蒸汽生成器中的液位控制问题等

[4]

[1-2]

1　双容水箱液位控制实验仪实物系统

装置介绍

如图1所示,双容水箱液位控制实验仪主要由2个柱形水箱,1个蓄水箱,2个抽水泵,2个出水口和5个比例控制阀门组成,其中柱形水箱分别设有进水和出水阀门,并且2水箱之间有连接阀.蓄水箱中有2个出水口,分别与水泵1和水泵2相连.

在实验过程中,蓄水箱中的水被泵1、泵2抽出后分别经过比例阀1、比例阀2进入柱形水箱1和柱形水箱2,然后分别通过各自的出水阀门(比例阀3和比例阀4)流回蓄水箱中.2个柱形水箱的进水流量和出水流量可分别由4个比例阀门进行调节.特别地,2个柱形水箱之间设有比例连接阀,通过调节连接阀的开

,

需要建立较精确的数学模型,以提高控制的精度

.

本文针对实际生产系统中的液体罐装容器的液位控制问题,借助双容水箱液位控制实验仪的实物系统装置,面向不同的实际背景,设计了几种典型控制实验,并用机理分析法分别建立了被控对象的较精确的数学模型,最后对上述系统中被控对象的能控性和能观性进行了分析.

[5-10]

图1　双容水箱液位控制实验仪系统结构

*国家“九七三”重大基础研究计划资助项目(2002CB312200);教育部科学技术重点资助项目(03184);教育部博士点基金资助项目(20020027013);国家自然科学基金资助项目(60474023)

?通讯作者

收稿日期:2005-09-02

液位实验设计

　第2期王志新等:双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型　127　

度大小可以改变2个柱形水箱之间的水流量.

2　双容水箱液位控制实验的实验设计

及被控对象的数学模型

根据实际问题的不同需要,可以借助双容水箱液位控制实验仪完成多项控制实验.例如随机出水的单水箱供液系统液位控制实验、随机入水的单水箱排液系统液位控制实验以及单一入水的双水箱供(排)液系统液位控制实验等.下面根据实际工业生产过程的需要,设计几种不同的液位控制实验方案,并分别给出其被控对象的数学模型.

2.1　随机出水的单水箱供液系统液位控制实验及其被控对象的数学模型　在某些特殊液体,例如啤酒灌装机的贮液缸内存在等压的气相区和液相区,贮液缸内液位的变化会直接影响到机器的正常运转和机器的生产能力,以至影响啤酒的质量和产量,因此需要适当调节送液阀开度来维持液位高度,以保证生产的正常运转[11].这些不同背景的实际问题都可看作是随机出水的单水箱供液系统液位控制问题.为此,设计了如下随机出水的单水箱供液系统液位控制实验.

实验系统的结构如图2所示.它由双容水箱实验仪的一个水箱,一个液位传感器,一个出水阀门,一个入水阀门以及作为控制器的计算机组成.该实验系统的被控对象是装有入水阀门和出水阀门的单容水箱,被控量是液位.控制器根据液位传感器检测的液位信号与设定值之间的偏差发出调控信号,调节入水阀门的开度,从而调整水箱入水量,使得液位保持在设定值.实验内容是设计合适的控制器,在出水存在干扰的情况下,调节入水流量,使得液位维持在一个设定值

.

某时刻的水箱入水流量Qin,Qout是被控对象的干扰.容易看出,某时刻进水流量与出水流量之差等于水箱内液体体积的变化率,即

c

=Qin-Qout.dt

(1)

这样,我们便得到了随机出水的单容水箱供液系统的数学模型.

2.2　随机入水的单水箱排液系统液位控制实验及其被控对象的数学模型　在一些液体的处理过程中,例如:乙烯工程污水处理厂的自动排水处理场,流入蓄水池的液体流量是随机变化的,通过调节液体的出水流量来调整蓄水池的液位高度[12].这些实际问题可看作是随机入水的单水箱排液系统液位控制问题.为此,设计了如下随机入水单水箱排液系统液位控制实验.实验系统的结构与图2相同.实验研究入水阀门处有干扰信号的单水箱液位控制问题.实验系统的被控对象是一个装有入水阀门和出水阀门的一个水箱,被控量是液位.控制器根据传感器检测的液位信号与设定值之间的偏差发出调控信号,调节出水阀门的开度,改变出水的流量,从而调整水箱液位高度,使得水箱的液位保持在一个设定的值.实验内容是设计合适的控制器,使得在入水存在干扰的情况下,调节出水流量,使得水箱的液位保持设定值.

下面建立被控对象的数学模型.首先,选定状态变量为液位高度H,输入变量为出水阀门处的电压U,Qin是系统的干扰信号.然后,对于水箱的情况进行分析.参见2.1节实验的分析可得式(1).接下来选择入水截面1和出水截面2之间的水流体作为分析对象,根据流体力学分析中常用的伯努利方程

2

[13]

+gΔz++hf=0,2ρ

(2)

也就是入水截面与出水截面之间的流体的动能、位能和压力能应该是守恒的.Δv2是入水截面水流速度vin的平方与出水截面水流速度vout的平方之差,Δz是入水截面与出水截面之间的高度差,Δp是入水截面与出水截面之间的压力差,hf表示水头的损失(也称为out

阻力损失),在这里hf=.式中的ξ是局部阻力损

2失系数,对于确定的管道和固定开度的阀门,可以取一个常数.在容器液面高度变化缓慢时,在每个微小的时

图2　单水箱液位控制实验系统结构

2

间间隔内,可以应用动量守恒公式,A1vin=A2vout,由于入水截面面积A1 出水截面面积A2,vin可被忽略.那么,整理可得

vout=kQout可

下面建立该实验中被控对象的数学模型.设某时

刻的水箱的进出水流量分别为Qin和Qout,水箱的液位高度记为H,c表示水箱的横截面积.

首先,选定状态变量为液位高度H,输入变量为

液位实验设计

　128　北京师范大学学报(自然科学版)第42卷　

以表示为

Qout=αUH,

其中U表示施加在出水阀门上的电压,α是阀门节流系数,在阀门的线性区域,α是一个常系数.这样一来,随机入水单水箱排液系统液位控制实验被控对象的数学模型可以写作

c

=Qin-αUdt

(3)

的阀门节流系数,U0和U1分别表示在阀0和阀1上施加的电压,k表示阀2的阀门系数.

首先,选定状态变量为水箱1和水箱2液位高度H1和H2,输入变量为在阀0和阀1上施加的电压U0和U1,Qin为系统的干扰信号.

参照实验2.2单容水箱排液系统的分析可得水箱1的数学模型为dH1c1=Qin-α1U1

dt水箱2的数学模型为

c2

2

=α0U0

dt

12-k2(5)

1-α0U0

12,

(4)

2.3　单一入水的双水箱排液系统液位控制实验及其被控对象的数学模型　在实际排液系统中,在用水流

量比较大的情况下,系统需要再添加一个储水箱,用以平抑液位的变化.这样的问题可以看作是一个单一入水的双水箱排液系统液位控制问题.为此,设计单一入水的双水箱排液系统液位控制实验,系统结构图如图3所示

.

综上所述,我们设计了3种不同的液位控制实验,并分别建立了被控对象的数学模型.

3　双容水箱实验系统的能控能观性分析

如果在一个有限的时间间隔内施加一个无约束的控制向量,使得系统由初始状态X(t0)转移到任意状态,则称该系统在时刻t0是能控的.如果每一个状态都能控,则称该系统为状态完全能控的.如果系统的状态X(t0)在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定,那么称系统在t0时刻是能观的.如果每一个状态都能观,则称该系统为状态完全能观的[14].

下面分析上述单水箱实验系统的能控性和能观性.不失一般性,设置终止状态为状态空间原点,并设初始时刻为零.对于随机出水的单水箱供液系统来说,不考虑系统的输入干扰信号,根据式(1)可得

c

=Qin.dt

图3　双水箱液位控制实验系统结构

实验系统由双容水箱实验仪的2个有入水阀门和出水阀门的连通水箱,2个传感器,以及作为控制器的微机组成.实验研究的问题是单一入水干扰的双容水箱液位控制问题.

实验系统的被控对象是两个连通的水箱,被控量是2个液位.控制器根据传感器检测的液位信号与设定值之间的偏差发出调控信号,调整出水阀门(阀1)的开度和水箱连接阀(阀0)的开度,从而调整水箱1出水流量和水箱之间的流量,使得2个水箱保持一定的液位,此时水箱1的入水有干扰信号,水箱2入水阀关闭且水箱2出水阀关闭或保持适当的开度不变.实验内容是在水箱1的入水有干扰的情况下,设计合适的控制策略调整水箱1的出水流量和水箱之间的流量,使得水箱中的液位维持在设定值.

下面建立被控对象的数学模型.设定H1和H2

为水箱1和水箱2的液位高度,Qin为水箱1的入水流量,Qout1和Qout2分别为水箱1和水箱2的出水流量,Q0表示由水箱1流入水箱2的流量,c1,c2分别表示水箱1,01容易看出,无干扰的随机出水的单水箱供液系统的无

约束控制量Qin可以使得系统在有限的时间间隔内由任意的状态转移到状态空间原点.对于随机入水的单水箱排液系统,不考虑系统的输入干扰信号,根据式(3)可得

c=-αU,dt

公式两边积分可得

2

H(0)=α0U(t)dt.

∫

t

(6)

可见,无干扰的随机入水的单水箱排液系统的无约束控制量u(t)可以使得系统在有限的时间间隔内由任意的状态转移到状态空间原点.由于增加外扰信号不改变系统的能控性

[14]

,所以随机出水的单水箱供液系

统和随机入水的单水箱排液系统都是能控的.进一步,选择系统的输出就是水箱液位高度的变化量,即状态,.

液位实验设计

　第2期王志新等:双容水箱上的几种液位控制实验及被控对象的数学模型

00Q 0=-2

　129　

为了分析单一入水的双水箱排液系统的能控性和

能观性,我们将水箱模型进行线性化.在系统稳态工作点(Q in,H 1,H 2,U 1,U 0)处,水箱1的线性化方程为

c11=Q in+qin-α11U1-dtα1U 12

α11

H1+U 1-Q 0,

21

H1-H 2+α01-H 2U0+00

H1-H2).

水箱2的线性化方程为

c2

2220-k=Q 2-.

dt22

21-H 2

注意到液阻的定义:设有一液流,流过连接2个液体容器的管路,则管路上的阀门等节流部件的液阻定义为,产生单位流量变化所需的液位差变化.令R0表示水箱1和水箱2之间连接阀门的液阻,R1和R2分别表示出水阀门1和阀门2的液阻,则

1212

,R1,R2.

α0U 0α1U 1k

将液阻的定义引入微分方程,则单一入水的双水箱排液系统的微分方程组可以写作:

2-1-H

R0其中,qin表示入水处的微小流量变化,Q 0表示在稳定工作点附近水箱1流入水箱2的流量,即

c1c2

1

in+qin-α1U1=Q

dt2

=α0U0

dt

1111

0U01+--αR121200

+

R02

.R2

qin

12

,

2(7)

1200

1-H 2+-R0

-R1R0

R0

R

-R0R2

12-22

2-

由此,

单一入水的双水箱排液系统的线性化状态方程可以写作X·=AX+BU的形式:

H·1H·=C

-1

H1H2

+C

-1

10

-α1H1

-α01-H 2α01-H 2

U1+UC-1

α11α0U 0

1+22-00

2

1-H 2+Q in

.

2

2

(8)

H1-H 2-

关于单一入水的双水箱排液系统的能控能观性,我们有如下的结论:

命题1　对单一入水的双水箱排液系统,设其状态变量X(t)为某时刻2个水箱液位高度H1和H2,控制量U(t)为施加在水箱1出水阀门处的电压U1和水箱之间阀门处的电压U0,水箱1的入水流量Qin是该系统的干扰,输出变量Y(t)为两个水箱液位高度y1和y2,则该系统是能控且能观的.

证　根据被控对象的状态方程(8),可令M=[B|AB],即

10212-αH1-αH1-H αH1(+(+)α1-H

R1R0R1R0

M=.

α11

0α01-H 2--(+)α0H1-H 2

R0R2R0

容易验证,矩阵M的秩是2,是满秩矩阵.由能控性判据可知系统是能控的.令N=[C　CA]

T

(9)

验的设计分析提供了基础,可用于测试由各种不同蕴

18]含算子[15-构造的控制算法在上述几种液位控制实验

中的控制品质.

,容易验证,

矩阵N的秩是2,即N是满秩矩阵.由能观性判据可知系统是能观的.证毕.

5　参考文献

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HongWong,

VikramKapila,

etal.

Experimentalvalidationofanonlinearbacksteppingliquidcontrollerforastatecoupledtwotanksystem[J].,4　小结

本文根据生产加工过程中的实际背景,设计了随机出水的单水箱供液系统,随机入水的单水箱排液系统以及单一入水的双水箱排液系统等典型的液位控制实验,分别建立了被控对象的数学模型.随后,证明了

液位实验设计

　130　北京师范大学学报(自然科学版)第42卷　

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SEVERALLEVELCONTROLEXPERIMENTSONDOUBLE-TANK

SYSTEMANDTHEMODELINGOFTHESEPLANTS

WangZhixin1,3)　GuYundong2)　WangJiayin1)　SongWenyan1)

(1)SchoolofMathematicalSciences;2)SchoolofManagement:BeijingNormalUniversity,100875,Beijing,China;

3)ComputerCenter,ChinaYouthCollegeforPoliticalSciences,100089,Beijing,China)

Abstract　Thehardwaresystemofdoublecoupledwatertanksisintroduced.Severallevelcontrolexperimentsaredesignedinviewofdifferentapplications.Themathematicalmodelsonhardwaresystemofdoublecoupledwatertanksundercontrolaregiven.Thecontrollabilityandobservabilityofthesystemare

verified.

Keywords　levelcontrol;systemmodeling;controllability;observability