分形 武科大

《材料设计》之分形理论及其在材料中的应用

Fractal Theory and Its Application in Materials Science

现代数学方法在材料科学中的应用

现代数学方法：分形学、拓扑学、有限元分析、小波分析、高斯98分析

数学是科学技术中一门重要的基础学科，在长期发展过程中，它不仅形成了自身完美、严谨的理论体系，

而且成为其它科学技术必须的研究手段和工具。

随着科学技术的飞速发展，数学的科学地位也发生了巨大的变化。现代数学在理论上更加抽象，方法上

更加综合，更加精细，应用也更加广泛。

数学与材料的交融产生了许多新的生长点，数学直接为材料科学中非线型现象的定性定量分析提供了精

确的语言。

分形理论研究材料的断裂表面，材料的结构，薄膜的生长等方面非常重要；

有限元在材料力学分析及优化设计上有广泛的应用，是分析内应力、热应力及残余应力等的有效方法；

小波分析为研究材料表面活性机理，合成新材料，如晶体、合金、陶瓷颜料等提供了新的思路

拓扑学是研究图象在拓扑变换下不变性质的学科，为研究几何图形的性质以及在晶体结构描述上有重要的应用前景。

-分形基本理论 分形由来、分形图形、分形现象、分形含义、分形特征、分形维数

分形由来

1.自然界有规则的几何可以定义,但是看似无规则的图形,例如山,天上的云等,我们用传统的几何方法无法定义(经典几何研究规则图形，平面解析几何研究一次和二次曲线，微分几何研究光滑的曲线和曲面，传统上将自然界大量存在的不规则形体规则化再进行处理),但却直观认为是山脉和云。

2.1967年美国哈佛大学数学教授曼德布罗特（BenoitB.Mandelbrot）在书中《英国的海岸

线有多长？统计自相似与分数维数》提出了”英国的海岸线有多长”（尺度问题）的问题.

分形图形

分形植物(具有自相似性)

在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。其实，远远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。这正是研究分形的意义所在。例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。

除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。上面的动

画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论

放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是，注意观察上图，我们会发

现：每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并

不要求具有完全的自相似特性。

分形图形(4)

Koch雪花图 Sierpinski三角形

Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，它们都具有严格的自相似特性（仔细看看，是不是这样？）。但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严格自相似。所以，用“具有自相似”特性来定义分形已经有许多局限了.

-分形的现象

非线性不可逆现象：

A.天空中的白云的形态似乎和望远镜的放大倍数无关，不管放大倍数多大，它的形态几乎是保持不变；

B.气象预报：长期的气象预报是不可能很准确的，因为随机性总是存在的，而它是无法事先预见的。

C.另外对一个特定的地点而言，完全相同的天气（指气温、湿度、风速、风向、阳光、雨、雾等参数）也是绝对不会重现的。

D.流体力学中的湍流、对流、电子线路的电噪声、某些化学反应等，远离平衡的宏观体系中自发产生时空有序状态（结构）等，这些变化过程中都不是过去的简单重复，而是不可逆地向前变化、发展的，这些变化过程中都包括着偶然性和必然性的统一。

以上A、B、C、D这些现象是不可逆性和随机性。

分形的含义

A.对于非线性科学而言，经典力学、量子力学、相对论都

无用武之地，必须有新理论来研究这些科学难题。近年来，混沌（chaos）、分形（Fractal）、耗散结构（dissipativestructure）、协同学（synergetics）、负熵论（negentropics）等理论从不同角度来研究非线性不可逆问题，形成了不同的学派。

B.分形是由美国IBM（InternationalBusinessMachine）公司研究中心物理部、哈佛大学数学系教授曼德勃罗特（BenoitB.Mandelbrot）在1975年首次提出的，其原意是不规则的、分数的、支离破碎的，1977年，他出版了第一本著作“分形：形态、偶然和维数”（Fractal:form,ChanceandDimension）,标志着分形理论的正式诞生。1982年，他出版了著名的专著“自然界的分形几何学”（TheFractalGeometryofNature）,至此，分形理论初步形成。因此，他也荣获了1985年的Barnard奖。

据曼德勃罗特教授自己说，fractal一词是1975年夏天的一个寂静夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典时，突然想到的。此词源于拉丁文形容词fractus，对应的拉丁文动词是frangere（“破碎”、“产生无规碎片”）。此外与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根。在70年代中期以前，曼德勃罗特一直使用英文fractional

一词来表示他的分形思想。因此，取拉丁词之头，撷英文之

尾的fractal，本意是不规则的、破碎的、分数的。曼德勃罗特是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满天繁星等。它们的特

3．分形和线性近似处理方法的区别

长期以来，自然科学工作者，尤其是物理学家和数学家，由于受欧几里得几何学及纯数学方法的影响，习惯于对复杂的研究对象进行简化和抽象，建立起各种理想模型（绝大多数是线性模型），把问题纳入可以解决的范畴。这种线性的近似处理方法也很有效，在许多学科中得到了广泛的应用，解决了许多理论和实际问题，取得了丰硕的成果，推动了各门学科的发展。但是在复杂的动力学系统中，简单的线性近似方法不可能认识与非线性有关的特性，例如：流体中的湍流、对流等。虽然从数学上，这种近似方法也可以对一些极个别的例子可以在某一特定条件下，求出其特解以外，大多数至今都有解不出来。对于复杂一些的非线性系统和过程，则连微分方程（组）也列不出来。而分形则是直接从非线性复杂系统的本身入手，从未经简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，这一点就是分形理论与线性近似处理方法本质上的区别。

4分形的特征

4.1自组织现象 4.2自相似性标度不变性

4.1自组织现象

定义：就是在某一系统或过程中自发形成时空有序结构或状态的现象，也称之为合作现象或非平衡非线性现象。

自组织现象举例(1)

1.化学振荡和化学钟

把Ce(SO4)、KBrO、CH（COOH）、H2SO4及几滴亚铁灵（氧化还原指示剂）混合在一起并搅拌，再把得到的均匀混合物倒入试管，试管里立刻会发生快速的振荡；溶液周期地由红到蓝地改变颜色，一会儿红色，一会儿蓝色，象钟摆一样发生规则的时间振荡。

2.空间有序结构将一石英管用机械泵抽真空，然后通过高频感应炉的感应线圈对石英管施加一个高频交变电场，这时在石英管中就可以看到明暗相间的光环。激光也是光的频率和位相十分有序的。

3.生物链

4.2自相似性

定义：一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局限性质或局域结构与整体类似。

自相似的举例

在欧氏几何中，点线面及立体几何等规则形体是对自然界中事物的高度抽象，也是欧氏几何学的研究范畴，这些人类创造出来的几何体可以是严格对称的，也可以在一定的测量精度范围，制造出两个完全相同的几何。然而自然界中广泛存在的则是形形色色不规则的形体，如地球表面的山脉，河流，海岸线等，这些自然界产生的形体具有自相似特性，它们不可能是严格地对称的，也不存在两个完全相同的形体。

从飞机上俯视海岸线，可以发现海岸线并不是规则的光滑的曲线，而是由很多半岛和港湾组成的，随着观察高度的降低（即放大倍数增大），可以发现原来的半岛和港湾又是由很多较小的半岛和港湾组成的。当你沿海岸线步行时，再来观察脚下的海岸线，则会发现更为精细的结构——具有自相似特性的更小的半岛和港湾组成了海岸线。如此一来，一个普通的问题就被提出来，一条海岸线的长度能精确测量吗？答案是否定的，人们无法精确地测量海岸线的长度，因为随着测量的尺子的长度的减小，海岸线的长度会逐渐增大。应用分

形理论，人们认识到海岸线的长度是不确定的，它依赖于所使用的测量单位。

有规分形和无规分形

数学家们设想了许多不规则的几何图形，瑞典数学家科赫（H.VonKoch）于1904年首次提出了Koch曲线，如图（a）它的生成方法是把一条直线等分成三段，将中间一段用夹角为60℃的二条等长的折线来代替，形成一个生成元，然后再把每个直线段用生成元进行代换，经无穷多次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线，用它来模拟自然界中的海岸线是相当理想的。从图中可以看出，Koch曲线是个分形，具有自相似性。由于它是按一定的数学法则生成的，因此具有严格的自相似性，这类分形通常称之为有规分形。而自然界里的分形，其自相似性并不是严格的，而是在统计意义下的自相似性，海岸线就是其中的一个例子。凡满足统计自相似性的分形称之为无规分形。

对于Koch曲线来说，把它分成了四个等份，而每一等份是原来尺寸的(1/3)。所以有N=4和r=1/3。由d=(logN)/(log(1/r))，可以计算

d=(log4)/(log3)≈1.261859507143。

Koch曲线的形成

在Sierpinski三角形中，我们把三角形分成了三个相等的部分。而每一部分的边长和高只是原先三角形的(1/2)，所以N=3并且r=1/2，根据等式计算的结果则是d=(log3)/(log2)，结果大约等于1.584962500721Sierpinski三角形的演变

自相似性的例子

1)树枝与树枝之间，树叶与树叶，叶脉等。

2）太阳系的构造与原子的结构。

3）人类历史（决不是简单的重演）

4）人体中的大脑、神经系统、血管、呼吸系统、消化系统等。

5）我国生物学家张颖清教授提出的全息胚理论：植物的一块根茎，一根枝条，一片叶子都包含着这种植物的全部信息，或者说是一整套基因，它们可以培育成完整的植物体。从分形的角度来看，这正好反映了植物本身所具有的自相似性，是动物学过程中本质特性的体现。这个规律不只是存在于植物之中，在动物中也同样适用，现已发展成生物学的一个新的分支学科——全息生物这里强调的是自相似，而不是相同或简单的重复。另外，自相似性通常只和非线复杂系统的动力学特征有关。总而言之，随着人类对自然界中复杂的、非线性动力学系统行为认识的逐步深化，提出了自相似性新概念，它是包括人类社会在内的自然界中普遍存在的一个客观规律。

4.3标度的不变性

分形具有自相似性，一个具有自相似特性的物体（系统）必定满足标度不变性，或者说这物体没有特征长度。所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域，对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特性。因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、

不规则性等各种特性均不会发生变化，

所以标度不变性又称为伸缩对称性。

5分形的数学基础

5-1.相似维数 5-2.Hausdorff维数（分数维数) 5-3.欧氏几何维数计算 5-4.举例

5-1相似维数

欧氏空间中非规整几何图形的几何量的计算

——经验维数的提出

对于点、线、平面图形、空间图形以及曲线或曲面组成的几何图形的维数（欧氏维数）分别为0，1，2，

3。对于规整几何图形的几何测量是指长度（边长、周长、对角线长）、面积与体积的测量。所以欧氏几何测量中，可以把这两类图形（分别以正方体和球体作为代表）归纳为如下二点：（1）长度=l,面积=l,体积=l(正方体)

（2）长度（半径）=r,面积=πr,体积=πr(正方体)

1.整数维（拓扑维或传统的维数）

a.点——零维；b.线——一维；c.面——二维；d.体——三维

从上面两式可以看到，长度、面积和体积的量纲分别是长度单位的1，2，3次方，它们恰好与这些几何图形存在空间的欧氏维数相等，而且均为整数。在欧氏几何中对规整几何图形的测量，可以用下式来表示：长度=l;面积A=al2;体积V=bl3

式中a和b为常数，称为几何因子，与具体的几何图形的形状有关。它们是以两点间的直线距离为基础的，而且，它们的量纲数分别等于几何图形存在的空间的维数。以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度数是一致的。

经验维数的矛盾

以上讨论的维数都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量及自由度是一致的。也就是说，直线上的任意点可用1个实数表示，平面上的任意点可用由2个实数组成的数组来表，??在1890年有人对经验维数提出了较深刻的疑问，这是因为只用一个实数来表示二维的正方形上的任意点。用一条曲线即可把平面完全覆盖的最好例子是Peano曲线。

相似维数的提出

Peano曲线可定义为图中折线的极限。从图中可看出，此曲线同样可以把平面完全覆盖。此曲线属于自相似，与Koch曲线一样，处处不能微分，是分形的一个例子，被称为非规整几何图形。Peano曲线也适用于三维