基于软阈值和小波模极大值重构的信号降噪

基于软阈值和小波模极大值重构的信号降噪

第31卷第5期2011年10月

振动、测试与诊断

Vol.31No.5

Oct.2011

基于软阈值和小波模极大值重构的信号降噪

秦　毅,　王家序,　毛永芳

1

1

2

??

(1重庆大学机械传动国家重点实验室　重庆,400044)　(2重庆大学自动化学院　重庆,400044)

摘要　软阈值小波降噪是一种常用的非平稳信号特征提取方法。为了改进软阈值小波降噪法的性能,提出一种基于软阈值和二进小波变换模极大值的新小波降噪方法。首先,对信号进行二进小波变换,再对小波系数进行软阈值处理;然后,选择由信号产生的小波系数模极大值点;最后,用交替投影算法重建信号。理论分析表明,该方法能有效地降低软阈值小波降噪法的误差下界。仿真试验表明,该方法提高了降噪结果的信噪比,且较好地保留了信号中的奇异性。将该方法和二进小波变换软阈值降噪法结合起来,应用于滚动轴承故障振动信号降噪。结果表明,该方法能有效地提取到信号中的冲击特征。

关键词　二进小波变换　软阈值　模极大值　降噪误差下界　奇异性中图分类号　TN911.7

频滤波降噪法能够很好地提到信号中感兴趣的特

引　言

在工程实际中,由于环境和传感器本身质量等因素的影响,从被测对象上检测到的信号,往往被各种噪声干扰。在某些情况下,噪声干扰甚至大于实际的真实信号,信号降噪已成为信号动态测试和设备故障诊断中的重要研究内容。基于傅里叶变换的传统降噪方法通常采用数字低通滤波器进行信号降噪。传统的当信号与噪声的频带相互分离时,这种方法比较有效。当信号与噪声的频带相互重叠时,在保护信号边缘和抑制噪声之间存在着矛盾,难以对信号中的噪声进行正确识别并加以去除,故传统的降噪方法对非平稳信号降噪效果不好。当机械设备发生故障时,其振动信号往往具有非平稳特性,此时基于傅里叶变换的传统降噪方法就很难将信号和噪声分离。由于小波变换具有良好的时频局部化特性,并且信号与噪声的小波系数在各尺度上具有不同性质,因此可用来实现非平稳信号降噪[1-2]。

小波降噪的基本原理如下:利用信号和噪声的小波系数在各个尺度上具有的不同特性,先去除属于噪声的小波系数,然后对处理后的小波系数进行重构便能得到降噪后的信号。目前,小波降噪方法主要有以下4种:时频滤波降噪法、模极大值降噪法、空域相关降噪法和阈值降噪法

[4]

[5]

[6-8]

[3]

征,但需要一定的先验知识,缺乏通用性,计算量也

较大。模极大值降噪法无需知道噪声的方差,并能够较好地分析信号中的奇异性,但要求噪声必须是白噪声。空域相关降噪法能较好地保留信号的重要边缘(即信号的重要部分),但计算量较大,并且需要估算噪声方差。阈值降噪法计算简单,速度快,在最小均方误差意义下可达近似最优,因而应用最为广泛,但其难点是估计噪声的方差。

与离散小波变换相比,二进小波变换[9]具有严格的平移不变性,保留更多的降噪所需的有用信息,不会受到人工噪声的干扰[10],因而它更适合于信号降噪。本文在二进小波变换基础上,将软阈值降噪法和模极大值降噪法结合起来,提出了基于软阈值和二进小波变换模极大值重构的信号降噪方法,并从理论上分析了该方法可以有效地改进软阈值小波降噪法的误差下界。此外,由于该方法是通过小波系数模极大值来重建信号,因而其降噪结果较好地保留了信号中的奇异性。最后,通过仿真试验和工程实例验证了该方法的降噪性能。

1　二进小波变换

设x(t)是一平方可积信号,即x(t)∈L(R),则该信号的二进小波变换定义为

2

。其中,时

??

(编号:::

基于软阈值和小波模极大值重构的信号降噪

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j

振　动、测　试　与　诊　断　　　　　　　　　　　　　　　　第31卷　

∞*

Wx(2,??)=x(t)??dtj-∞

22

其中:j∈Z,??为平移参数;??(t)为母小波。

∞

(1)

原则和启发式阈值原则。根据信号特点的不同,选择合适的阈值原则,可以达到更好的降噪效果。硬阈值函数和软阈值函数是两种最常用的阈值量化函数,它们的定义分别为

y=

x

(??x??>T)(??x??≤T)

(x>T)(x<-T)(??x??≤T)

(10)(9)

令??(t)为尺度函数,且??(t)和??(t)满足以下双尺度方程

??(t)=??(t)=

k=-∞∞

∑h(k)??(2t-∑g(k)??(2t-

k)k)

(2)(3)

y=

x-Tx+T0

k=-∞

其中:h和g分别为低通和高通滤波器。

若再对式(1)中的??进行离散化,并设??(t)∈

22

L(R)和??(t)∈L(R),则二进小波变换的小波系数和尺度系数为

其中:阈值T>0。

与硬阈值函数相比,利用软阈值函数处理的结果更为平滑,所以本文采用软阈值函数量化小波系数。

dj(k)=

22∞

∞

x(t)-∞

dt=x*??2j(k)2

(4)

dt=x*??2j(k)2

(5)

-j;22

3　模极大值降噪原理

通过Lipschitz指数??可以度量信号在某个时间区间或某一时刻的正则性,即刻画信号的奇异性。奇异性也可以通过跟踪小波变换在细尺度下的模极大值来检测,而且Lipschitz指数和小波变换模极大值之间存在以下关系[4]:如果信号的Lipschitz指数??>0,则该信号的小波变换模极大值将随尺度的增大而增大;反之,若??<0,则该信号的小波变换模极大值将随尺度的增大而减小。

由于常用信号的Lipschitz指数大于0,而噪声具有负的Lipschitz指数,所以可根据信号与噪声在不同尺度上模极大值的不同传播特性,选出由信号产生的模极大值点,然后通过这些模极大值点来重建信号,故实现了对信号的降噪。该方法的最大优点是能较好地保留信号中令人感兴趣的奇异性。

cj(k)=

x(t)??-∞

j

其中:k∈Z;??2j(t)=??2(-t)=

2j(t)=??2j

(-t)=??-;*表示卷积运算。22

可以通过滤波器级联结构求出各尺度上的小波系数。令hj(k)和gj(k)分别为在滤波器h(k)和g(k)每两个系数之间插入2-1个零后所得的滤波器,并记hj(k)=hj(-k),gj(k)=gj(-k)。二进小波变换的快速分解算法可表示为

cj+1(k)=cj*hj(k)dj+1(k)=cj*gj(k)

　　快速重构算法可表示为

cj(k)=

[cj+1*hj(k)+dj+1*gj(k)]2

(8)(6)(7)

j

4　重构信号的降噪方法

4.1　原理与方法

　　小波软阈值降噪法虽然在最小均方误差意义下可达近似最优,但其难点是估计噪声的方差(水平)。而模极大值重构降噪法无需计算噪声方差,且在分析信号的奇异性方面有优势。根据两种方法各自具有的优点,将它们结合起来可以获得更好的降噪性能。本文提出了基于软阈值和二进小波变换模极大值重构信号降噪方法,实现该方法具体步骤如下:

(1)对含噪信号进行二进小波变换,一般选取4或5个尺度;

2　阈值降噪原理

小波变换具有很强的数据去相关性,能够使信号的能量在小波域集中在少量的大的小波系数中,而噪声却分布在整个小波域,对应大量的数值小的小波系数。根据信号与噪声的小波系数具有的以上特点,可以选用某一阈值对各尺度下的小波系数进行量化处理,然后利用尺度系数与处理后获得的小波系数进行重构,就能得到降噪后的信号。

在小波阈值降噪法中,最为重要的就是如何选择阈值和阈值量化函数。常用的阈值原则有以下4种

[:

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尺度上的小波系数按式(10)进行软阈值处理;

(3)求出阈值处理后每个尺度上小波系数的模极大值点;

(4)利用adhoc算法[4]搜索各个尺度上有用信号所对应的小波系数模极大值点,并记录它们的位置;

(5)由各尺度保留下来的模极大值点及其位置,选用交替投影算法重建信号,得到降噪后信号。

以上过程如图1

所示。

可见,这个界是由噪声水平??决定的。

在小波软阈值降噪法中,式(13)中的yi取为小波系数。显然,如果能正确估计出小波系数中噪声水平,小波阈值降噪法的误差将达到下界。下面再分析该方法对软阈值降噪法的误差下界的改进。

由4.1节可知,本文所提方法实际上包含两个降噪过程,即阈值降噪和模极大值降噪,两个降噪过程的顺序也可以交换。假定先对样本信号x进行模极大值降噪,所得结果记为yD,并将其写成矢量形式

yD=x+??v

其中:v={vi}i∈I,且??vi??≤1。

若原始信号的信噪比不是很高,模极大值降噪过程可以保证以下不等式在一大类信号集合??上成立

SNR(x,yD)≥SNR(x,y),　x∈??

其中:SNR为信噪比。

由式(18)可知

??≤??

D

(17)

(18)

(19)

　　再对y进行以??为阈值的软阈值处理,则可以得到

图1　本文提出的小波降噪法的流程图

??(??)

M??(x,x)=

∑min(x

i∈I

2

i

,(??+??)2)

(20)

4.2　误差下界

虽然小波软阈值降噪在最小均方误差意义下可

达近似最优,但本文通过将它与模极大值重构降噪法结合起来,可以获得更小的误差下界。首先介绍软阈值消噪理论中关于误差下界的结论。

假定有N个观测样本,并记第i个样本信号为

yi=xi+??ni,　i∈I(11)其中:xi为有用信号;ni为噪声,且满足??ni??≤1;I为

下标集;??>0为噪声水平。

??是再记y={yi}i∈I,x={xi}i∈I,n={ni}i∈I。若xx的一个估计,则在最坏情况下的平均平方误差为

??,x)=sup‖x??-x‖2

M??(x(12)　　软阈值降噪中,以??为阈值的降噪结果可写为??(i??)=sgn(yi)(??yi??-??)x(13)其中:sgn(?)表示符号函数。(??)????(i??)}i∈I。如果x??满足如下的一致收缩记x={x条件则其中

??(??)??i??=??xi??　i∈I??x

??,x)≥M??(x??(??),x)M??(x

(14)(15)[6]

　　由式(19)可知

(??)????(??),x)M??(x,x)≤M??(x值降噪法的误差下界,具有更高的降噪性能。

(21)

　　上式表明,本文提出的方法可以改进小波软阈

5　仿真试验与工程应用

5.1　仿真试验

　　选用Matlab小波工具箱中的Bumps信号进行试验。信号在时间区间[0,1]中被采样,采样点数为1024,其时域波形如图2(a)所示。向该信号添加方

差为1的白噪声,所得含噪信号(信噪比为10.8dB)的时域波形如图2(b)所示。小波基选用双正交样条小波基(母小波及其对偶母小波均具有3阶消失矩),分解层数为5,阈值选取采用固定阈值原则。分别采用离散小波变换软阈值降噪法、二进小波变换软阈值降噪法、模极大值降噪法、基于软阈值和二进小波变换模极大值重构的小波降噪方法对如图2(b)所示的含噪信号进行降噪,所得结果分别如图2(c～f)所示。4种方法所得结果的信噪比分别为14.8,16.9,16.8和19.9dB,可见本文提出的方法对原始信号的逼近程度最高。由图2可见,本文方法I

2

i

2)

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保留了原始信号中的奇异性(如在t=0.23和0.43s处的奇异性),这也是本文方法相比于两种小波软阈值降噪法的一个主要优点。

由于受噪声的影响,降噪结果往往带有一定的随机性。为了进一步验证本文方法的优越性和稳定性,选取多个具有相同信噪比的样本信号进行试验

(比如30个)。先取含噪Bumps信号(信噪比为10.8dB)进行试验。对于30个样本信号,4种方法所得结果的信噪比如图3(a)所示。再取含噪Blocks信号(SNR为9.5dB)进行试验。对于30个样本信号,4种方法所得结果的信噪比如图3(b)所示。由图3可以看出,

本文提出的方法具有最高的降噪性能。

图2　多种降噪方法对含噪“Bumps”信号的降噪结

果

图3　多种降噪方法降噪性能的统计比较

5.2　工程应用

如果滚动轴承的内环、外环或滚动体有损伤,则当轴旋转时,这些元件在接触过程中会产生幅度较大的冲击脉冲力。不同元件的损伤引起的冲击振动的周期是不同的,因此只要计算出信号中冲击成分[11]

故障引起的周期冲击成分往往被噪声干扰,而不能明显观察到,因此为了更好地提取故障特征,需要对信号进行降噪。

图4是从振动试验台上拾取的具有外圈故障的SKF6205型滚动轴承的振动加速度信号,采样频率为12kHz,转频为29.55Hz,经计算该转速下外圈故。,

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层数与前面相同的条件下,分别采用基于软阈值和二进小波模极大值重构的小波降噪方法与二进小波变换软阈值降噪法对信号进行降噪处理,所得结果分别如图5和图6所示。比较图5和图6可知,本文方法更好地保存了冲击信号的能量,冲击特征也更为明显。计算出的平均冲击周期为T=9.42ms,即冲击频率为106.2Hz。显然,冲击频率与外圈故障特征频率相近,这就说明了该轴承具有外圈故障,与实

际相符。

始信号中的奇异性。此外,该方法是基于二进小波变换的,而二进小波变换具有平移不变性,所以该方法能够有效地避免人工噪声的干扰。其不足之处在于

过程相对复杂,计算速度慢于软阈值降噪法。

参　　考　　文　　献

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图4

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图5　本文方法对图4

信号降噪所得结果

图6　二进小波变换软阈值法对图4信号降噪所得结果

[11]丁康,李巍华,朱小勇.齿轮及齿轮箱故障诊断实用

技术[M].北京:机械工业出版社,2005.

6　结束语

小波降噪对于非平稳信号具有很好的降噪效

果,适用于机械故障振动信号的预处理和特征提取。本文根据小波软阈值降噪法和模极大值重构降噪法各自具有的优点,将它们结合起来,提出了一种基于软阈值和二进小波变换模极大值重构的新降噪方法,并从理论上分析了它可以达到更低的误差下界。在仿真试验和工程应用中,与其他降噪方法相比,该

第一作者简介:秦　毅　男,1982年8月生,讲师。主要研究方向为工程信号处理、机械测试与故障诊断。曾发表“ResearchoniteratedHilberttransformanditsap-plicationinmechanicalfaultdiagnosis”(″MechanicalSystemsandSignalPro-cessing″2008,No.8)等论文。qy-808@http://wendang.chazidian.com