摆出来的数列等式
摆出来的数列等式
吉林省舒兰市十八中 任良天
12?22?32???n2?n(n?1)(2n?1)在高中阶段经常出现，教材上是通过数学归6
纳法证明其成立，本文意在通过小立方体的摆放，构造出一个等式，然后通过这个等式推出此公式。
如图所示，小正方体的棱长为1，则小正方体的个数就等于体积数。第1层有1个小正方体，第2层有2个小正方体，第3层有3个小正方体 ……第n层有n个小正方体。按照如图所示摆放，则1?2?3???n等于小正方体的个数。我们通过补形法，将第1层与第2层非接触部分垒上1层每层为2?1?1个的小正方体，将第2层与第3层非接触部分垒上2层每层为2?2?1个的小正方体，将第3层与第4层非接触部分垒上3层每层为222222222?3?1个的小正方体……将第n?1层与第n层非接触部分垒上n?1层每层为2?(n?1)?1个的小正方体(如图中阴影部分所示)。如此一来，可将如图所示的图形补成一个棱长为n的大正方体。故棱长为n的大正方体的体积等于原有小正方体的体积和加上新增小正方体的体积和。所以下列等式成立。
n3?(12?22?32???n2)?1?(2?1?1)
?2?(2?2?1)?3?(2?3?1)???(n?1)?2(n?1)?1?
2222?（1?2?3???n）?2?1?2?3???（n?1）
???1?2?3???（n?1）
2?12?22?32???（n?1）?(12?22?32???n2)?n2
n(n?1)又?1?2?3???（n?1）?2
n(n?1)322222?n?3?(1?2?3???n)?2n?2
n(n?1)(2n?1)?12?22?32???n2?6?2222??
第1层
…… 层
作者信息 ：任良天 吉林省舒兰市十八中 邮编132602 电话 15144384453 邮箱 renliangtian@http://wendang.chazidian.com
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