试 卷 - A1

桂林电子科技大学离散数学试卷

课程名称 离散数学 （A卷; 闭卷）

单项选择题（每小题2分，共12分）

1. 设M(x)表示“x是人”，F(x)表示 “x很聪明”，G(x,y)表示“x比y聪明”，a表示“小

明”，则“小明很聪明，但他未必比所有人都聪明。”可符号化为： ( )

A. F(a)? ?x(M(x)?G(a,x)) B. F(a)??xG(a,x)

C. F(a)??xG(x,a) D. F(a)??x(M(x)?G(x,a))

2. 设命题公式G= (p?q)?q，H=(q?p)?(p?q)，则G与H的关系是： （ ）

A．H?G但G??H B. G?H

C．G?H但H??G D. A、B、C都不对

3. 设R是非空集合A上的二元关系，若S=R?R?1，则S一定具有的性质是 ( )

A. 自反性 B. 对称性 C. 传递性 D. 反自反性

4. 设A={a,{a}}，下列式子中正确的是（ ）

A． {a}?P(A) B． a?P(A) C． {a}?P(A) D．以上都不是

5. 设A={a,b,c,d}，A上的等价关系R={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<c,d>,<d,c>}则对应于R的

A的划分是（ ）

A．{ {a},{b,c},{d}} B. { {a,b},{c},{d}}

C．{ {a},{b},{c,d}} D．{ {a,b},{c,d}}

6. 设集合A={0,1}，P(A)是A的幂集，?为集合的对称差运算，则代数系统<P(A), ?>是

（ ）

A. 半群，但不是独异点； B. 独异点，但不是群；

C. 群，但不是Abel群； D. Abel群。

一、填空题（每个空2分，共10分）

1. 设个体域为{a,b}，则公式?x?y (F(x)?G(y))消去量词后应为。

2. 设公式A中的命题变项为p, q, r，若A有且仅有成假赋值110和010，那么A的主合取

范式为(要求用公式表示，否则不给分) 。

3. 设集合A={a,b,c}，R={<a,b>, <b,a>,<c,b>}，则R102。

4. 设集合X={1，2，3}，函数f:X?X,g:X?X，f?{?1,2?,?2,3?,?3,1?}，

g?{?1,2?,?2,3?,?3,3?}，则f?1?g= ，g?f= 。

5. 设S={0,1,2,3,4}，?为模5乘法，即?x,y?S, x?y=(x?y)mod 5，则S中关于运算?的等

幂元有 。

二、判断题（正确的打?，错误的打?。每小题2分，共10分）

1. 设个体域为自然数集，谓词F(x,y)表示“x?y”，则?x?yF(x,y)所代表的命题是真命题。

（ ）

2. 已知集合A、B和C，若A?B=A?C，且A?B=A?C，则B=C。 （ ）

3. 设A和B都是集合，如果A?B??，则A=B。 （ ）

4. 已知独异点V=<S, * >，B?S，且B对运算*封闭，如果V?=<B, *>不是V的子独异点，

则V?不是独异点。 （ ）

5. 整数加法群<Z, +>中有且仅有两个生成元，即1和?1。 （ ）

三、（共16分）

桂林电子科技大学离散数学试卷

1. 对以下给定的前提和结论，用命题逻辑的构造证明法加以证明。

前提：p?q，q?r，p?s， s

结论：r?(p?q)

2. 对以下给定的前提和结论，用谓词逻辑的构造证明法加以证明。

前提：?x(F(x)? G(x)?R(x))，?x(F(x)? G(x))

结论：?x(F(x)?R(x))

四、 (共9分)

设Z+是正整数集合，在Z+ ? Z+上定义二元关系R，?<x,y>,<u,v>? Z+ ? Z+，

<x,y> R <u,v>? xv=yu

证明R是Z+ ? Z+上的等价关系。

五、(9分)

设集合A={ 2，3，4，6，9，12，24}，R是A上的整除关系。

1、 画出偏序关系R的哈斯图；

2、 对集合A的子集B={2，3，4，6}，找出它的极大元，极小元，最大元，最小元，上界，

六、(14分)

对100名技术人员的调查结果表明，有32人学过日语，20人学过法语，45人学过英语。

并且，其中有15人既学过日语又学过英语，7人既学过日语又学过法语，10人既学过法语又学过英语。30人没学过这三门语言的任何一种。根据以上提供的数据回答以下问题：

(1)三种语言都学过的人数为多少？

(2)只学过日语、只学过法语、只学过英语的人数各为多少？

(3)至少学过以上三种语言中的两种语言的人数为多少？

(4)只学过日语和法语、只学过日语和英语、只学过法语和英语的人数各为多少？

七、(14分)

设半群V=<S,*>，其中S={1,2,3,4,5,6}，*是定义在S上的模7乘法，即

?a, b?S，a*b=(a?b) (mod 7)。

1、 给出*运算的运算表；

2、 求出<S,*>中每个元素的逆元；

3、 求出<S,*>中每个元素的阶；

4、 证明<S,*>是循环群；

5、 给出<S,*>的所有生成子群。