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图论期末考试题目参考
《图论》
《图论》期末考试模拟题(答案)
注意:这仅仅是题型的参考而已,真正的题目不会从这里出。
一、选择题
1、给定无向图如图所示,下面给出的顶点集子集中,是点割集的为(A,B,C,D)。
A. {b, d}
B. {d}
C. {a, c}
D. {g, e} bf
内容需要下载文档才能查看2、设V={a,b,c,d},与V能构成强连通图的边集E=( A )。
A. {<a,b>,<a,c>,<d,a>,<b,d>,<c,d>}
B. {<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<d,c>}
C. {<a,c>,<b,a>,<b,c>,<d,a>,<d,c>}
{<a,d>,<b,a>,<b,d>,<c,d>,<d,c>}
3、一个连通的无向图G,如果它的所有结点的度数都是偶数,那么它具有一条( B )。
A. 哈密尔顿回路
B. 欧拉回路
C. 哈密尔顿通路
D. 欧拉通路
4、如图所示各图,其中存在哈密顿回路的图是( A, C )。
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第 1 页 共 5 页
图论期末考试题目参考
《图论》
5. 下图中既是欧拉图,又是哈密尔顿图的有(D)。
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A.
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B.
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C.
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D.
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5、设G是有5个顶点的完全图,则G( B )。
D. 无哈密尔顿路
E. 可以一笔画出
F. 不能一笔画出
G. 是平面图
6、设G是连通简单平面图,G中有11个顶点5个面,则G中的边是( D )。
A. 10
B. 12
C. 16
D. 14
二、填空题
1、完全图K8具有( 28 )条边。
2、图G如图所示, ab
fc 那么图G的割点是( a, f )。
e d
3、无向图G为欧拉图,当且仅当G是连通的,且G中无( 奇数度 )结点。
第 2 页 共 5 页
图论期末考试题目参考
《图论》
4、连通有向图D含有欧拉回路的充分必要条件是( D中每个结点的入度=出度 )。
5、 n个结点、m条边的无向连通图是树当且仅当m=__(3)___。
(1) n+1 (2) n (3) n-1 (4)2n-1
三、
1、设图G=(P,E) 中有12条边,6个度数为3的顶点,其余顶点的度数均小于3,求G至少有多少个顶点。
解答:设G有n个顶点,由定理1,
∑d
i=1nG(vi)=2m=24 (|E|=m)
由题设 24<3×6+3(n?6)
∴ 3n>24
即 n>8
因此,G中至少有9个顶点。
2、一次学术会议的理事会共有20个人参加,他们之间有的相互认识但有的相互不认识。但对任意两个人,他们各自认识的人的数目之和不小于20。问能否把这20个人排在圆桌旁,使得任意一个人认识其旁边的两个人?根据是什么? 解答:可以把这20个人排在圆桌旁,使得任一人认识其旁边的两个人。 根据:构造无向简单图G=<V,E>,其中V={v1,v2,…,V20}是以20个人为顶点的集合,E中的边是若任两个人vi和vj相互认识则在vi与vj之间连一条边。 ?Vi∈V,d(vi)是与vi相互认识的人的数目,由题意知?vi,vj∈V有d(vi)+d(vj)≥20,于是G中存在哈密尔顿回路。
设C=Vi1Vi2…Vi20Vi1是G中一条哈密尔顿回路,按这条回路的顺序按其排座位即符合要求。
3、已知带权图G,如图所示。试求图G的最小生成树,并计算该生成树的权。
第 3 页 共 5 页
图论期末考试题目参考
《图论》
解答:做法如下:
①选边1; ②选边2;
③选边3; ④选边5; ⑤选边7 最小生成树为{1,2,3,5,7}。如图中粗线所示。
权数为18。
四、证明题
1、设G为9个结点的无向图,每个结点的度数不是5就是6,试证明G中至少有5个度数为6的结点,或者至少有6个度数为5的结点。
证明:由握手定理的推论,G中度数为5的结点个数只能是0,2,4,6,8五种情况; 此时,相应的结点度数为6的结点个数分别为9,7,5,3,1个,以上五种对应情况(0,9),(2,7),(4,5),(6,3),(8,1),每对情况,两数之和为9,且满足第2个数大于或等于5,或者第1个数大于或等于6,意即满足至少有度数为6的结点5个,或者至少有度数为5的结点6个。
2、彼得森图G如图8.23所示。
(1)求:α(G),β(G),γ(G).
(2)证明:(2.1)χ(G)=3,
内容需要下载文档才能查看(2.2)它不是二分图,也不是欧拉图,更不是平面图。
解 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图。图中每个顶点的度数均为3,由定理8.4可知它不是欧拉图。又因为它可以收缩成由库拉图斯基定理可知它也不是平面图。 第 4 页 共 5 页 ,
图论期末考试题目参考
《图论》
3.证明或推翻下列命题:“设连通简单平面图G 的最小度δ(G)≥4,则G 的点色数χ(G)≥3.”
解答与评分标准:
假设χ(G)<3.(反证法分情况讨论2 分)
χ(G)=1 当且仅当G 为n 阶零图,与已知矛盾。(4 分)
χ(G)=2 当且仅当G 为二分图,因为G 为平面图,只能为K2,s 或Kr,2(有问题). 此时
必有δ(G)=2, 与已知矛盾。(4 分)
第 5 页 共 5 页
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