典型课例2例

随机抽样

繁昌一中 卢 成

一．课标要求：

1．能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；

2．结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；

3．在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法；

4．能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

二．命题走向

统计是在初中数学统计初步的深化和扩展，本讲的主要内容是随机抽样的方法在总体中抽取样本。

预测2013年高考对本讲的考察是：

（1）以基本题（中、低档题为主），多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；

（2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法。

三．要点精讲

三种常用抽样方法：

1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。

（1）抽签法

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法。

（2）随机数表法

结论：

① 用简单随机抽样，从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时，1每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为；在整个抽样过程中各个个体N

n被抽到的概率为； N

② 基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性；

③ 简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。

2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。

系统抽样的步骤可概括为：

（1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；

（2）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间NNN隔k.当是整数时，k?；当不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使nnn

1

N?； n

（3）确定起始的个体编号。在第1段用简单随机抽样确定起始的个体边号l；

（4）抽取样本。按照先确定的规则（常将l加上间隔k）抽取样本：l,l?k,l?2k,???,l?(n?1)k。

3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。

结论：

（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。用分层抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相n等，都等于； N

（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。

四．典例解析

题型1：统计概念及简单随机抽样

例1．为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ）

A．1000名运动员是总体 B．每个运动员是个体

C．抽取的100名运动员是样本 D．样本容量是100

解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。

答案：D

点评：该题属于易错题，一定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。

例2．今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本。问：① 总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少?② 个体a不是在第1次未被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少?③ 在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少?

111解析：（1），（2），（3）。 333

点评：由问题(1)的解答，出示简单随机抽样的定义，问题( 2 )是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性。

题型2：系统抽样

例3．为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本。

解析：（1）随机地将这1003个个体编号为1，2，3，…，1003．

（2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行． 剩下的个体数N´能被n整除，这时k?

?3?点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等??，也就是每个个体不被1003??

?1000??50?剔除的概率相等??.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是??，?1003??1000?

2

所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是10005050??。 100310001003

例4．（2004年福建，15）一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________.

剖析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样.按题目中要求的规则抽取即可.

∵m=6，k=7，m+k=13，∴在第7小组中抽取的号码是63.

答案：63

点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行。

题型3：分层抽样

例5．（2006湖北文，19）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的1，4且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本。试确定

（Ⅰ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。

解析：（Ⅰ）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占

x40%?3xbx10%?xc3?47.5?10，%解得比例分别为a、b、c，则有4x4x

b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、

50％、10％。 3（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为200??40%?60（人）； 4

3抽取的中年人数为200??50％＝75（人）； 4

3抽取的老年人数为200??10％＝15（人）。 4

点评：本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

例6．（2006四川文，5）甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一

3

个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）

A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人

C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人

解析：B；

点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。 题型4：综合问题

例7．（1）（2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是

A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法

C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法

分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.

依据题意，第①项调查应采用分层抽样法、第②项调查应采用简单随机抽样法.故选B.

答案：B

（2）（2005湖北卷理第11题，文第12题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是 （ ）

A．②、③都不能为系统抽样 B．②、④都不能为分层抽样

C．①、④都可能为系统抽样 D．①、③都可能为分层抽样

解析：D。

点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。

五．思维总结

4

回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。

随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。

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