光纤通信波动方程推导

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上传时间：2015-05-07
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光纤通信波动方程推导

光纤通信波动方程

光纤通信报告

班级：通信工程2012-2 姓名：王成龙学号201201101621

1.麦克斯韦方程组

光是电磁波，用波动理论来分析电磁场的分布，获得更准确的光纤的传输特性必须从麦克斯韦方程组出发：

?D ??H?J??t

??D??

??B?0??E??

光纤不是电的导体，不存在电流，电流，电流密度J?0

光纤中不存在自由电荷，所以电荷体密度?v?0

?D ??H??t

??D?0

??B?0??E??

2.波动方程

设光纤无损耗，在光线中传播角频率为?的单色光，电磁场与时间t的关系为ej?t，则波动方程为：

?2E?n2ko2E?0

?H?nkH?0222

k0为真空中的波数：

k0?

?c?2??

3.柱坐标下的波动方程

利用光纤的圆柱对称性，将波动方程写成圆柱坐标的形式：

电场的z分量Ez的波动方程为：

?2Ez1?Ez1?2Ez?2Ez?n?????2???Ez?0 ?r2r??2r2??2?zc??2

光纤通信波动方程

4.边界条件及贝塞尔函数的求解

?d2R1dR?22m2?2??n1k0???2?R?0?2?drrdrr????22?dR?1dR??n2k2??2?m?R?02??dr2rdr?20r????0?r?a? ?r?a?

上式是贝塞尔函数的微分方程，可以有多种R?r?与?的组合满足方程，每一个组合称为一个模式。

在纤芯中名要求具有振荡特性，即

2n12k0??2?0,??n1k0

在包层中，要求具有衰减特性，即

22n2k0??2?0,??n2k0

所以传播传播常数必须满足的条件是

n2k0???n1k0

对于突变型光纤，贝塞尔方程的解得形式为：

?AJm(?r)?A?Ym(?r),R(r)???BKm(?r)?B?Im(?r),

A、A?、B、B?为常数； r?ar?a

Jm为第一类贝塞尔函数；

Ym为第二类贝塞尔函数；

Km为第二类变形贝塞尔函数；

Im为第一类变形贝塞尔函数；

?、?定义为

?2?n12k02??2

22?2??2?

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n2k0

光纤通信波动方程

波动方程的通解的形式为：

im?i?z??AJm(?r)eeEz??im?i?z??BKm(?r)eer?ar?a

同样可以得到：

im?i?z??CJm(?r)eeHz??im?i?z??DKm(?r)eer?ar?a

A、B、C、D待定。

A、B、C、D斯格常数表示出了光纤纤芯和包层的电磁场分布情况。这些常数必须满足电场E、磁场H在纤芯和包层分层界面上切向分量连续的边界条件，即在r?a处有： Ez(r?a)?Ez(r?a)

E?(r?a)?E?(r?a)

Hz(r?a)?Hz(r?a)

H?(r?a)?H?(r?a)

可得A、B、C、D四个常数必须满足的四个齐次方程。

这些方程只有系数矩阵的行列式为零时，才有平凡解。

在对贝塞尔函数的微分方程的求解过程中，应用纤芯—包层边界条件，求得：

传播常数?的特征方程为

2?Jm?(?a)?(?a)??Jm?(?a)n2?(?a)??m???1KmKm1????? ??2?????22??J(?a)?K(?a)?J(?a)n?K(?a)naK???m1m?m??m??10??2

因无法导出?的解析表达式，只能数值求解

5.光纤的模式及其分布

模式：?mn所对应的这种空间分布，在传播过程中只有相位变化，没有形状的变化，且始终满足边间条件，这种空间分布称为模式。

进入光纤的光分解成为“模式”的离散光束，模式是在光纤内部存在的稳定的电磁场模型。每个模式可以认为是以特定传播角传播的独立光束。

以不同角度入射到光纤的射线将形成光线中不同的模式

光纤中的电磁场模式不同于平面波导，一般Ez、Hz都不为零。

当方位角模数m?0时：

在传输方向无磁场的模式称为横磁模TMOn。

?Hz?Hr?0,E??0;仅有Ez、Er、H?、H??

在传输方向无电场模式称为横电模TEOn。

?Ez?Er?0,H??0;仅有Hz、Hr、E??

当m?0时，电磁场六个分量都存在，E和H都拥有纵向（即沿着传播方向z）分量，这些

光纤通信波动方程

模式称为混合模。

磁场贡献为主?Hz?Ez?—HEmn

电场贡献为主?Ez?Hz?—EHmn

在弱导光纤中，Ez、Hz都近似零。存在的摸式线性偏振（linearly Polarrized）摸—LPmn。为了决定截止条件，定义归一化频率V：

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2V?k0a(n12?n2)?2?aNA?????2??an???

归一化频率V越大，能够传播的模式数就越多。

V值较高的光纤可以支持较多的模式，称为多模光纤。模式数目随V的减少快速减少。V?5,7个模式。

当V小于某个值，初HE11模式外，所有模式被截止。只支持一个模式（基模）的光纤被称作单模光纤。

单模光纤的截止波长：

单模条件：

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V??2.405

???c,V?2.405

???c,单模传输。

???c,多模传输。

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