相平面法

7-4 相 轨 迹

一、相轨迹的概念

设二阶系统可以用下列常微分方程

描述

???f(x,x?) x

或 ?dx?) ?f(x,xdt

?的非线性函?)一般是x和x式中f(x,x

数。该系统的时域解，可以用x与t的

关系曲线来表示。也可把时间t作为参

?之间的关系曲线来表示。变量，用x与x

下面以线性二阶系统为例加以说明。

设线性二阶系统如图7-34(a)所

示，其单位阶跃响应及其导数如图

7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应

?之间的关系曲线来描述，?曲线同样很直观地表用图7-34(c)所示的x与x由图可见，x?x

示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比x(t)曲线更形象，可获得更多的信息。

??f(x,x?)看作是一个质点运动方程，用x表示质点的位置，那么x显然，如果把方程?

?就表示质点的运动速度。用x和x?描述方程的解，也就是用质点的“状态”x（位置和速度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运

?动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x?x

的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的

?平面上描绘出的轨迹线，一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t的变化在x?x

表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n维空间去。

相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程

??f(x,x?) x ?

改写成两个联立一阶微分方程，令x?x1，x1?x2则有

?

?dx1?dx?x?x2???dt?dt ? 或 ? （7-20） dxdx2???f(x,x)?f(x1,x2)???dt?dt

用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得 ?)?f(x1,xdx? （7-21） ?dxx

解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。

为了便于理解，先讨论大家比较熟悉的线性二阶系统的相轨迹及其特点，以及绘制方法，然后再讨论非线性系统。另外，不少非线性元件的特性都可分段用直线来表示，故整个非线性系统的运动，可以分段用几个线性方程来描述。因此，熟悉线性系统的相迹，对讨论非线性系统的相迹也是很有好处的。

二、线性系统的相轨迹及其特点

1、二阶线性系统的相轨迹

设系统的微分方程式如下

2??2??nx???n ?x?0 （7-22）

?为相平面坐标，上式可写成为 取x?x

?dx2??(2??nx??nx)??dt ? dx??x??dt

2???n??(2??nxx)dx?或 （7-23） ?dxx

由时域分析法讨论可知，式（7-22）所示自由运动形式由特征方程式的根分布特点所决定。主要有以下几种情况：

??0的无阻尼等幅振荡 解析法求相轨迹方程：（1）方法①，求解微分方程（7-22）

?(t)，最后消去x(t)和x?(t)中的中间变量t，即可得相轨迹方程式得x(t)，将x(t)求导数得x

??f(x)及相轨迹图。方法②，对式（7-23）进行积分，求出相轨迹方程x??f(x)。这种x

方法只有当方程可以进行积分时才能采用。下面分析用这两种解析法求相轨迹方程。

方法①：当??0时，微分方程（7-22）的解为

x(t)?Asin(?nt??) （7-24） 对上式求导数得

?(t)?A?ncos(?nt??) （7-25） x

222?0?xn式中A?x0是由初始条件决定的常量。将（7-24）式左、右两边乘以?n，然

后平方并与式（7-25）的平方式相加，即消去t，得相轨迹方程（椭圆方程）： ?2x2x 2?22?1 AA?n

显然相轨迹是一个椭圆。

方法②：当??0时，方程（7-23）式为 2??nxdx （7-26） ???dxx

对上式积分，同样可得相轨迹方程 ?2x2x 2?22?1 AA?n

（7-27）

?0时，式（7-27）在相平面上呈现一簇同心椭圆，如图7-35（a）当取不同初始值x0、x

所示。

?平面的上半平面内，x??0，x随时间的增大而增相轨迹随时间变化的方向：在x?x

?平面的下半平面内，x??0，x随大，所以相轨迹方向自左至右指向x增加方向；在x?x

时间的增大而减小，故相轨迹方向应自右至左指向x减小方向。所以相轨迹的方向如图7-35（a）中箭头所示。

?dx??，dx所以相轨迹垂直地穿过横坐标轴。由于在相平面上对应每一个给定的初始条件，根据解??0,x?0)，由式（7-23）可知，相轨迹的斜率：相迹与横坐标轴的交点(x

析函数的微分方程解的唯一定理，可以证明通过初始条件确定的点的相轨迹只有一条。

?dx?0为因此由所有可能初始条件确定的相轨迹不会相交。只有在平衡点上，由于dx

不定，可以有无穷多个相轨迹逼近或离开它，可见这种点相应之下有点“不平常”，因此称为奇点。图7-35(a)中的坐标原点即为奇点。当??0时，只有唯一的孤立奇点，而且奇点附近的相轨迹是一簇封闭曲线，这种奇点通常称为中心点。

（2）0???1的欠阻尼衰减振荡 系统特征根为

P1、2????n?j?d

方程（7-22）的解为

x(t)?Ae???ntcos(?dt??)

可用上述同样的方法求得系统欠阻尼运动时的相轨迹方程 ????nx??2??nx22?????nx)2??d (x （7-28） x?C0exp?????dx??d

式中C0由初始条件所决定。方程（7-28）在相平面上是一簇绕坐标原点的螺旋线。相轨迹移动方向是从外卷入原点，不管初始状态如何，最终相轨迹总是卷向坐标原点，如图7-35（b）所示。显然，坐标原点是奇点，而且奇点附近的相轨迹均向它卷入，这种奇点称为稳定的焦点。

（3）??1的过阻尼运动 系统特征根为两个负实根 2 p1、2????n??n?1

令 q1??(???n??n2?1) q2??(???n??n2?1)

同理，由方程（7-22）可解得相轨迹方程

??q2x)q2?C0(x??q1x)q1 (x（7-29）

式中C0由初始条件确定的常数。方程（7-29）代表了一簇通过坐标原点的“抛物线”。当给定不同初始值时，其相轨迹如图7-35(c)所示。显然，坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。图中1和2为两条特殊的相轨迹。

（4）?1???0的负阻尼发散振荡 系统特征根为具有正实部的一对共轭复数根，方程（7-22）的解x(t)为发散振荡，因此，对应的相轨迹是发散的螺旋线如图7-35(d)

?(t)??，因此相轨迹远离坐标原点。显然坐标原所示。由于随t??时，x(t)??，x

点为不稳定的焦点。

（5）???1的单调发散运动

系统特征根为二个正实根，其相轨迹如图7-35(e)所示。同理，坐标原点为不稳定的节点。

2???n（6）系统微分方程为 ?xx?0

系统特征根为实根??n，由于 2xdx?n ? dxx

对上式积分[与式（7-26）类同]，得相轨迹方程 ?2xx2

22?2?1 A?nA

（7-30） 22?2n?x0式中A?x。方程（7-30）是一簇等边双曲线，如图7-35（f）所示。坐标原

点为奇点，其附近相轨迹像马鞍形，故称这种奇点为鞍点。由图7-35（f）可见，图中曲线1和2为两条特殊的相轨迹。

综上所述，二阶系统的运动形式与系统特征根的分布有密切的关系，不同的特征根分布，对应着不同的运动形式，以及不同的奇点类型。它们的对应关系如图7-35所示。

2、特殊二阶线性系统的相轨迹 系统微分方程分别为

??M x（1）?

由方程可见，系统的两个特征根位于?s?平面的坐标原点。 ?dx??x?，则有 x因为这?dx?dx??Mdx x

对上式进行积分，得系统的相轨迹方程

12??Mx?A x2

12??Mx0，相轨迹是一簇抛物线，如图7-36(a)、(b)、(c)所示。

式中A?x2