A SURVEY OF COBORDISM THEORY -Milnor
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A SURVEY OF COBORDISM THEORY -Milnor
菲尔兹奖得主 Milnor 的文章。配边理论概览
SURVEY OF COBORDISM THEORY
Autor(en):
Objekttyp:Milnor, J.Article
Zeitschrift:L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr):8 (1962)
Heft 1-2:L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:27.04.2015
Persistenter Link:http://wendang.chazidian.com/10.5169/seals-37949
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菲尔兹奖得主 Milnor 的文章。配边理论概览
ASURVEYOFCOBORDISMTHEORY1
byJ.Milnor
Thispaperwillstartoutwithadiscussionofknownresultsandthenwilltaperoffintoadiscussionofunsolvedproblems.Thetheoryofcobordism
ItwasinitiatedbyL.Pontrjaginand
V.A.Rohlin[10,12].cameofâgewiththeworkofR.Thom
[17].Thebasicquestioninthistheoryisthefollowing.LetJtbesomeclassofcompactmanifolds.GivenVhowcanonedécidewhetherornotVistheboundaryofsomeothermanifoldinM?OfcourseanecessaryconditionisthatVitselfmustbeaclosedmanifold:thatistheboundarydVmustbevacuous.
1.Theclassicalcobordismgroups$N_k$and$.AsafirstillustrationofthisproblemletQ)dénotetheclassofailcompactdifîerentiablemanifolds.ThemanifoldsVeQ)neednotbeconnectedororientable,andareallowedtohâveboundaries.Theorem1(Pontrjagin,Thom).?AclosedmanifoldVeQ)istheboundaryofsome(k+1)-dimensionalmanifoldin<3)ifandonlyiftheStiefel-Whitneynui/tberswwit???wwin[V]areailzéro.(Explanation:TheStiefel-Whitneycohomologyclasses2)
J2)aredefmedforexampleinSteenrcfd[15].iIfi±+...+in=kisanypartitionofkthenthecupproductw
canonicalti...winis"atopdimensionalcohomologyclass.Applyingthe
intégration"homomorphismweobtaina"Stiefel-Whitneynumber"wtl...win[V]eJ2>)Junel96o.i)TalkdeliveredattheZurichColloquiumonDifferentialGeometryandTopology,2)ThenotationJwillbeusedfortheintegersandJ2J2fortheintegersmodulo2.
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Thenon-orientedcobordismgroupNfcfollows.=Hk(3f)isconstructedasGiventwo/c-manifoldsF,willVe3ithesumV+V
meanthe(disjoint)topologicalsum,providedwithadifferentiablestructureintheobviousway.
Définition.TwoclosedmanifoldsV\VeQ)arecongftientmodulo~d@ifVThe+Y'istheboundaryofsomemanifoldin3f.setofailcongruenceclassesofclosedA-manifolds,underthecompositionopération+,foraistherequiredgroupNk.WewillalsousethenotationHk(Q))forthisgroupsinceitissomethinglikeahomologygroup.(TheRussiantermfor"cobordism"is"
Itintrinsichomology".)followsfromTheorem1thateachNkisafiniteabeliangroupoftheform/?©...©J2.
ThecartesianproductopérationbetweendifîerentiablemanifoldsgivesrisetoabilinearpairingThusthegradedgroupN*=(NQyiV1?...)hasthestructureofagradedring.Theorem2(Thom).Thenon-orientedcobordismringN*has
thestructureofapolynomial?algebrawithonegeneratorXkeNforeachdimensionwhichisnotoftheform2mIf-l.fekiseventhentherealprojective/c-spacecanbetakenasgenerator.ForkoddgeneratorshâvebeenconstructedbyDold[4].
Thom'sproofofTheorems1and2involvesabrilliantmixtureofalgebraandgeometry.AkeystepintheargumentishisproofthatNkisisomorphictoacertainhomotopynottrytogivedétails.group.Iwill
NextconsidertheclassQ)oconsistingofailorienteddifîhttp://wendang.chazidian.compactTheoremI'.?AclosedmanifoldinQi0istheboundaryofa
manifoldinQ)oifandonlyifbothitsStiefel-WhitneynumbersanditsPontrjaginnumbersarezéro.
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ThisresuitisduetoPontrjagin,Thom,Milnor,Averbuh,andWall.(See[2,9,19].)ForthedéfinitionofthePontrjaginnumbersph...pin[V]eJthereaderisreferedtoHirzebruch[6].Thèsenumbersaredefinedonlyifthedimensionkisamultipleof4.
Theorientedcobordismring£1*=H*(<30)isdefinedasfollows.ForVeQ)olet?VdénotethesamemanifoldVwiththeoppositeorientation.Wewillsaythatif
example,foranyclosedmanifoldFwehâveV=V(modsince(?V)+VistheboundaryofsomemanifoldinQ)
/dénotestheunitinterval.o.Asan~d!30)ThesetofaiïsuchcongruenceclassesformtherequiredgroupQk.Againthecartesianproductopérationmakes£1*=(Qo,Q,^...)intoagradedring.ItfollowsfromTheorem1'that£lkisafinitelygeneratedgroupoftheformwherewhereinfinitécyclicsummandscanoccuronlyifk=
Yl2,Y0(mod4).Theorem2.TheringQ*,modulotheidéalconsistingof2-torsionéléments,isapolynomialringJ[Y4,8,12,...]withone
generàtorineachdimensiondivisibleby4.YB,Y?-Thecomplexprojectivespaceofrealdimension4mcanbetakenasgeneràtorform=1,2,3.Howeveradifférentgeneràtorisneededindimension16.
Foradescriptionofthe2-torsioninQ*thereaderisreferredtoWalPspaper.
2.ManifoldswithX-structure.
.Inthissectionwewilldefinetheconceptofan"X-structure"onthetangentbundleofadifferentiablemanifold;andstudythecorrespondingcobordismtheory.
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FirstrecallSteenrod'sdéfinitionofatensorfield[15,§6.4and§9.1withmildaltérations].EverydifîerentiableA-manifoldVcanbemadeRiemannianandhencehasatangentbundlewithstructural.
thegroupOkLetXbeanytopologicalspaceonwhichgroupOkacts.ThenwecanformtheweaklyassociatedbundlewithbasespaceVandfibreX.Thismaybecalledthe"tensorbundleoftypeX"anditscross-sectionsare"tensorfields".Asanexample,if
O2mlOIUk=2m,thenO2mactsonthecosetspace2mm.
Across-sectionofthecorrespondingbundleiscalledaquasi(oralmost)complexstructureonV.(See[15,§41.10].)
Wewillmodifythisdéfinitionasfollows,sothatitmakessenséforaildimensionssimultaneously.Let0dénotetheunionoftheorthogonalgroupsO1OO2OO3O1c2
infinitéc3c...inthefine
topology.Thenwerequirethatthisorthogonalgroup0actonthespaceX.ItfollowsthateachOkactsonX.HencethereisatensorbundleoftypeXoveranymanifoldFei
Définition:Ahomotopyclassofcross-sectionsofthetensorbundlewithfibreXoverViscalledanX-structureonV.AmanifoldVeQ)togetherwithanX-structureonViscalledanX-manifold.WewillstillusethesinglesymbolthisVtodénotepair.
NowifVisanX-manifoldthendFisalso.GivenanyclosedX-manifoldVonecandefmeasecondZ-manifold?VsothatThusonecandefmeacobordismgroupfortheclassofX-manifolds.TheresultinggroupwillbedenotedbyN
X-cobordismk(X)andcalledthegroup.(FollowingAtiyah[1]thiscouldalsobecalledthek-th"bordismgroup"oftheO-spaceX.)
Example1.LetOjUdénotetheunionofthespacesinthefinetopologywith0actingonO/UintheusualThenamanifoldwithan0/f/-structurewillbecalledway.aweaklycomplexmanifold.(CompareHirzebruch[7].)Forexample
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