第三届华杯赛复赛试题及答案

第三届华杯赛复赛试题

1．计算：

2．某年的10月里有5个星期六，4个星期日．问：这年的10月1日是星期几？

3． 电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标 有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？

4．173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？

5．我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？

6．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？

7．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数．

8．下图中有6个点，9条线段．一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点．行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次．这只甲虫最多有多少种不同的走法？

9．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

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10．已知：，求：S的整数部分．

11．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍．几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍．又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍．求：祖父今年是多少岁？

12．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生数．

13．恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？

14．计算：1－3＋5－7＋9－11＋?－1999＋2001

15．五环图由内圆直径为8，外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等．已知五个圆环盖住的总面积是112.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）．

16．下图中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的1/3，求：（a＋b+c+d）-（e+f＋g＋h）的值．

参考答案

1． 2．星期四 3．77 4．19 5．43365 6．90立方厘米 7．24；28 8．9种

9．48个 10．165 11．72岁 12．39名 13．179个 14．1001 15．1.1 16．0

1.【解】原式＝＝＝

解法二：原式＝＝＝＝

算这个题时，要注意两点：

（1）在乘、除运算中，代分数要化为假分数，及时约分；

（2）在加、减运算中，如果分数、小数同时出现，要么都化为分数，要么都化为小数。 这里，还要指出：，，，，，，的小数形式0.5，0.25，0.75，0.125，0.375，0.625，0.875，一定要很熟悉，在具体计算时，可以节省时间。

2.【解】10月有31天，因为有5个星期六，只有4个星期日，所以10月31日是星期六． 因为31＝4×7＋3，所以，3日也是星期六，1日是星期四

3.【解】电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置

由于1991＝165×12＋11

所以红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，跳到了标有数字“11”的圆圈

同理，由1949＝162x12＋5，知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按逆时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈，于是所求的乘积是11×7＝77

答：乘积是77。

4.【解】∵ 能被9整除的四位数的数字和是9的倍数，并且四位数173□前三个数字的和是11，

∴第一次□内只能填7，

∴能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得到的差是11的倍数，而7－(1十3)＝3，

∴第二次□内只能填8，

∵能被6整除的自然数是偶数，并且数字和是3的倍数．而173□的前3个数字的和是11， ∴第三次□内只能填4，7＋8＋4＝19。

故所求的和是19。

5.【解】不超过300的平方数，有：

1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，它们的和是1785

前300个自然数的和是：1＋2＋3＋?＋300＝×300＝45150，

于是剩下的自然数的和45150－1785＝43365

6.【解】容器的底面积是：(13—4)×(9－4)＝45(平方厘米)，

高为2厘米，所以容器的体积是，45×2＝90(立方厘米)

答：容器的体积是90立方厘米。

7.【解】∵每人的环数的积=1764≠0，

∴两人每箭射中的环数里没有“0”和“10”．

∵每箭射中的环数都是1764的因子，而：1764=1×2×2×3×3×7×7，

并且环数是不超过10的自然数∴必有两箭是7环，其它3箭的环数是1·2·2·3·3因

子。

如果最小的因子是1，那么，另外两个因子是4、9或者是6、6；

如果最小的因子是2，那么，另外两个因子是2，9或者是3、6；

如果最小的因子是3，那么，另外两个因子是3、4。

因此，两人5箭的环数有5种可能：

7，7，1，4，9，和=28；

7，7，1，6，6，和=27；

7，7，2，2，9，和=27；

7，7，2，3，6，和=25；

7，7，3，3，4，和=24；

∵甲、乙的总环数相差4，甲的总环数少，

∴甲的总环数是24，乙的总环数是28。

答：甲、乙的总环数分别是24、28。

8.【解】从A点出发，经过的第一条线段，有3种可能：(1)AB；(2)AE；(3)AD

在每一种可能情形下，各有3种走法．所以，一共有3×3＝9种走法.

答：共有9种走法．

9.【解】设原正方形的边长是3.所求的三角形可分两种情形：

(1)三角形的一边长2，这边上的高是3这时，长为2的边只能在原正方形的边上， 这样的三角形有2×4×4＝32(个)；

(2)三角形的一边长3，这边上的高是2，这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线其中，

与(1)重复的三角形不再算入，这样的三角形有8×2＝16(个)

因此，所求的三角形共48个(包括图中开始给出的三角形).

10.【解】＜12×＝

并且＞12×＝

∴S＞165并且s＜＝

即S的整数部分是165

11.【解】祖父的年龄比小明的年龄大，两人的年龄差是不变的.

因为今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍．

所以年龄差是小明年龄的5倍，从而年龄差是5的倍数.

同理，由“几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍”、“又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍”，知道年龄差是4、3的倍数，所以，年龄差是：5×4×3＝60的倍数。而60的倍数是：60，120，?，合理的选择是60，于是，今年小明的年龄是60÷5＝12(岁)，祖父的年龄是12×6＝72(岁).

答：祖父今年是72岁

【又解】 设今年小明x岁，那么今年祖父6x岁。y年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍，所以5（x＋y）=6x＋y即x=4y ， 又过z年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍， 所以4（x＋y＋z）=6x＋y＋z即 2x=3y＋3z

∵祖父今年6x岁，

∴ 6x≤100

又∵x=4y ∴x≥4

由及x＝4y，知x可能是4，8，12，16.

又从2x＝3y＋3z，即y＋z＝x，知x是3的倍数，所以x＝12，于是6x＝72。

12.【解】4＋17＋18＋15中有两项达到优秀的学生被算了2次，应当从统计中去掉1次，成为4＋17＋18＋15－6－6－5

但其中三项达到优秀的人，开始被算了3次，然后又被去掉3次，所以还应将这部分人数加进来，即全班人数是：4＋17＋18＋15－6－6－5＋2＝39

【又解】先求至少有一个项目达到优秀的学生人数，看下面这个图：

图中时三个圆圈分别代表短跑、游泳、篮球达到优秀的学生人数，其中的

“1”表示三个项目都优秀的人数，是：2；

“2”表示篮球、游泳达到优秀，但短跑没有达到优秀的人数，是：6－2＝4； “3”表示篮球、短跑达到优秀，但游泳没有达到优秀的人数，是：5－2＝3； “4”表示游泳、短跑达到优秀，但篮球没有达到优秀的学生数，是：6－2＝4； “5”表示只有短跑一项达到优秀的人数，是：17－（2＋3＋4）＝8；

“6”表示只有游泳一项达到优秀的人数，是：18－（2＋4＋4）＝8；

“7”表示只有篮球一项达到优秀的人数，是：15－（2＋4＋3）＝6，

∴只有一个项目达到优秀的人数是：2＋4＋3＋4＋8＋8＋6＝35

还有4个人在三个项目上未达到优秀，所以全班学生数是35＋4＝39

答：这个班有39名学生。

13.【解】6、7、8、9的最小公倍数是504；五位数中，最小的是10000，最大的是99999： ∵

∴五位数中，能被504整除的有198－19＝179(个)

答：有179个

14.【解】原式＝1＋(5－3)＋(9－7)＋(13－11)＋?＋(2001－1999)＝1＋2×500＝1001．

15.【解】每个圆环的面积是π()＝9π.

如果五个圆环彼此没有重合的部分，则它们的总面积是：5×9π＝45π，