竞赛训练题(3)之一元函数微分学

高等数学竞赛训练题三（一元函数微分学2）

一、马克老林公式与泰勒公式的应用

1. 当x?0时，x?sinxcosxcos2x与cx为等价无穷小，则c?。 k

二、利用罗比达法则求极限

1112. 若当x?且趋向于时，??3arccosx与a(x?)b为等价无穷小，则 222

a?b?

xx?x3. 求lim。 x?1lnx?x?1

4. 求limsin(sinx)?sin(sin(sinx))。 x?0(sinx)3

t??5. 求limx?(1?)x?et?。 x??x??

xx1a1x?a2?????an)x。 6. 求lim(x?0n

三、导数在几何上的应用

7. 设f(x)在?0,???上可导，f(0)?0，f?(x)单调上升，求证：f(x)在?0,???上x单调上升。

8. 已知g(x)在区间?a,b?上连续，且函数f(x)在?a,b?上满足f???gf??f?0，又

f(a)?f(b)?0，证明：f(x)在闭区间?a,b?上恒为一个常数。

四、导数在几何上的应用

9. 设f(x)在?0,???上二阶可导，f(0)?0,f?(0)?1,f??(x)?f(x),求证：x?0时，

f(x)?ex。

10. 假设f(x)?a1sinx?a2sin2x?????ansinnx，其中a1,a2???an是实数，且

f(x?si，试证明：

a1?2a2?????nan?1

参考答案：

1. 应用三角函数化简得

11 x?sinxcosxcos2x?x?sin2xcos2x?x?sin4x 24

1 由于sinx?x?u3?o(u3),所以 3!

1?1? x?sinxcosxcos2x?x??4x?(4x)3?o(x3)? 4?6?

?x?x?133833?4x?o(x)?x?o(x) 3

243

8因x?0时，原式cxk,所以c?,k?3. 3

2. 因为

1x??2lim??3arccosx1a(x?)b

26?lim?lim?1 111b?1x??x??(x?)b?12ab(x?)222

所以b?1??

6,于是a?b?1.

3. 应用罗比达法则，并应用取对数求导法则，有

xx(xlnx)??1xx(1?lnx)?1xx(1?lnx)2?xx?1

?lim?lim??2 原式?limx?1x?1x?111?x?1?1x

4. 令sinx?t

sint?sin(sint)cost?cos(sint)cost1?cos(sint)?lim?limcost 原式?lim 322t?0t?0t?0t3t3t

(sint)2t2

1 ?limcost2?lim2?。 t?0t?03t3t6

15. 令r? x

t(1?rt)?ee?? limx?(1?)x?et??lim?etlimx??r?0?xr??r?0?

1rt1ln(1?rt)?tr?1r

t?tln(1?rt)?rt?rtt2

tttt?elim?elim?telim??er?0?r?0?r?0?2r(1?rt)r22r2

xxln(a1x?a2?????an)?lnn) 6. 原式?exp(limx?0x

?exp(lim1x(a1xlna1?ax

2lna?2????anlnan)) xxxx?0a?a?????a12n

1 ?exp((lna1?lna2?????lnan)) n

?exp(ln(a1a2???an))

?(a1a2???an)

7. 令F(x)?f(x)(x??0)，则 x

xf?(x)?f(x)xf?(x)?(f(x)?f(0))F?(x)?? x2x21n1n

应用拉格朗日中值定理，? ??(0,x)，使得

) f(x)?f(0?)?f?( x

于是

F?(x)?x(f?(x)?f??())f?x?(f)??()? x2x

由于f?(x)单调上升，所以f?(?)?f?(x)，代入上式得F?(x)?0，故F(x)单调增。

8. 假设f(x)在?a,b?上不恒为常数，则由f(x)的连续性及f(a)?f(b)?0知

? x0?(a,b)，使得f(x0)是f(x)在?a,b?上的最值。由费马定理，有f?(x0)?0，从而f??(x0)?f(x0)。

若f(x0)是最小（大）值，必有f(x0)?0 (?0)，从而f??(x0)?0 (?0)。又根据f??(x0)?0 (?0)可知f(x0)是极大（小）值，这与f(x0)是最小（大）值矛盾，故f(x)在?a,b?上恒为常数。

9. 令F(x)?e?xf(x)，则

F?(x)??ex(?f(?x)f( x)

令G(x)?ex(f?(x)?f(x))，则 G?(x)?ex(f??(x)?f(x))?0

?G(x)?? G(x)?G(0)?f?(0)?f(0)?0 ?f?(x)?f(x)?0?F?(x)?e?x(f?(x)?f(x))?0 ?F(x)?? F(x)?e?xf(x)?F(0)?1 由此可得f(x)?ex。

10. 根据题意，有

f?(0)?(a1cosx?2a2cos2x?????nancosnx) ?a1?2a2?????nan a1?2a2?????nan?f?(0)?limx?0x?0 f(x)?f(0)f(x) ?limx?0xx 由题意知x?0时

f(xsi ?xx

由极限的局部保号性得

limx?0f(x)sinx?lim?1 x?0xx

f(x)?1 x 故a1?2a2?????nan?limx?0