黄田中学中考专题训练(解答题三)

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黄田中学中考专题训练（解答题三）

1. 阅读下面的例题，并回答问题.

【例题】解一元二次不等式：x?2x?8?0.

解：对x?2x?8分解因式，得 22

x2?2x?8?(x?1)2?9?(x?1)2?32?(x?2)(x?4)，

∴(x?2)(x?4)?0.由“两实数相乘，同号得正，异号得负”，可得

?x?2?0，?x?2?0， ① 或 ② ???x?4?0，?x?4?0.

解①得x＞4；解②得x＜－2.

故x?2x?8?0的解集是x＞4或x＜-2.

（1）直接写出x?9?0的解是；

（2）仿照例题的解法解不等式：x?4x?21?0； 222

（3）求分式不等式：

4x?1?0的解集. x?2

2.已知一张矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B，C重合），经过点O，P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．

（1）如图①，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；

（2）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C 落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，

试用含有t的式子表示m；

（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标.（直接写出结果即可）

① ②

23．如图，已知抛物线y＝2x－2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

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（1）写出以A，B，C为顶点的三角形的面积；

（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l1与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），

以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形.当平行四边形的面积为8

时，求出点P的坐标；

（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得

以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长．（用含m的代数式表示）

4

．小明在学习二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个含有根号的式子的平方，例如

3??1.

善于思考的小明进行了如下探索：a??m?（其中 a，b，m，

22n 均为正整数）

，则有a??m?22n，∴a?m?2n, b?2mn. 这样，小明找到

22?2?2

了把部分a?.请你仿照小明的方法探索并解决问题：

（1）当 a，b，m，n

均为正整数时，若a??m?得，a＝ ，b＝ .

（2）利用所探索的结论，找一组正整数 a，b，m，n 填空：

（3

）若a??m?

2?，用含 m，n 的式子分别表示 a，b 2?，且 a，m，n 均为正整数，求 a 的值. 2

5．（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点E在BC边上（点E不与点B，C重合）运动，当∠AEF＝

90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F时，求证：AE＝EF.

（2）如图②，若在（1）的基础上，点E在BC边的延长线上（点E不与点C重合）运动，其他条件

不变，问AE和EF相等吗？并说明理由.

（3）若将（1）（2）中的正方形ABCD换成长方形ABCD，AB长为a，BC长为b，其他条件不变，

且BE＝m.问：如图③，当点E在BC边上（点E不与点B，C重合）运动时，

＝ ；如图④，当点E在BC边的延长线上（点E不与点C重合）运动时，

＝ .并请对其中的一个结论进行证明．

AEEFAE EF

① ② ③ ④

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6．如图①,在边长为6 cm的等边三角形ABC的三边上, 有三个动点D，E，F（不考虑与A，B，C重

合）,点D从A向B运动,点E从B向C运动,点F从C向A运动,三点同时运动,到终点结束,且速度均为

1 cm/s.设运动的时间为t s,解答下列问题:

（1）求证:如图①,不论t如何变化,△DEF始终为等边三角形.

（2）如图①,记△DEF的面积为y（cm）,求y与t的函数关系式.并求当t取何值时, y 最小,最

小值为多少?

（3）如图②,建立平面直角坐标系,过点E作直线EQ∥AB,交AC于点Q,当直线EQ运动到何处时,

能使△AEQ的面积最大？求出这个最大值和此时点Q的坐标.

① ② 2

7. 已知抛物线y＝ax+bx+c的图象经过点A（1，0）,B(0，3),C(2，-1)． 2

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求该抛物线与x轴的另一个交点D的坐标；

（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PA+PB最短？若点P存在,求

出点P的坐标；若P点不存在,请说明理由．

8．【提出问题】

（1）如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接AM，以

AM为边作等边三角形AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．

【类比探究】

（2）如图②，在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不

变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．

【拓展延伸】

（3）如图③，在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连接

AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．

① ② ③