关于四面体旁切球半径的几个不等式_杨世国

２０１５年　第５４卷　第３期　　　　　　　　数学通报

５５

关于四面体旁切球半径的几个不等式

２

杨世国１．　刘学英１

（）合肥师范学院数学与统计学院　２安徽新华学院数理部　２１．３００６１；２．３００８８

３

　　本文中我们约定三维欧氏空间Ｅ中四面体

外接球半径为Ｒ，内切球Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４的体积为Ｖ，

半径为ｒ，顶点Ａ三角形）的面积ｉ所对的侧面ｆｉ（

），为Ｓ侧面ｆｉ＝１，２，３，４ｉ＝１，２，ｉ（ｉ上的高为ｈｉ（），它的第ｉ个旁切球（与侧面ｆ与其余３，４ｉ外切，

三个侧面延长面内切的球面）半径为ρｉ＝１，２，ｉ（），四面体的棱长为ａ３，４Ａｊ（１≤ｉ＜ｊ≤ｉｉｊ＝Ａ）近期文献［中建立了关于四面体的一些４．１－８］］有趣的不等式．文献［中建立关于四面体旁切球８半径的如下一个不等式

４

２ｒ．１２３４≥（ρρρρ

当四面体为正四面体时等号成立．

２３４１３４１２４１２３

）＋＋＋２．（５≥３

２３４１３４１２４１２３ρρρρρρρρρρρρ当四面体为正四面体时等号成立．

）本文给出不等式（的如下对偶不等式．５

定理３　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４成立不等式

２３４１３４１２４１２３＋＋＋ｈｈｈｈｈｈｈｈｈｈｈｈ２３４１３４１２４１２３

３）（）．６≥２Ｒ

当四面体为正面体时等号成立．

为了证明上面３个定理，需要引用下面几个

（）１

引理．

［１１］引理１　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４有不等式

一个十分有趣和重要的问题是，能否给出

１２３４的一个上界估计呢？本文首先解决（ρρρρ

这一问题，建立如下一个不等式．

４

２·Ｖ≤ｒ

３当四面体为正四面体时等号成立．

１

１

８

（）７

定理１　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４成立不等式·２，（）２１２３４≤（ρρρρ９ｒ

当此四面体为正四面体时等号成立．

设△Ａ三条高ＢＣ的旁切圆半径为ρａ，ｂ，ｃ，ρρ

４

［１２］

引理２　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４成立不等式

［，４］

建立如下一个为ｈｈｈＨ．Ｇｕｅｎｈｅｉｍｅｒ９１ｇｇａ，ｂ，ｃ，

有趣的不等式：

（）Ｖ≥８×Ｒ．８

当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体时等号成立．

［１３］

引理３　设四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４两侧面ｆｉ

与ｆｊ所成内二面角θｆｉｉ与ｆｉｊ，ｊ相交成棱长为ｌｊ（），则有１≤ｉ＜ｊ≤４

ｉ··ｓ））Ｖ＝·ｉｎ１≤ｉ．（９θ＜ｊ≤４ｉｊ（３ｌｉｊ

［１３］

引理４有　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４，

７

２２２２

ＳＳＳＳ４（ＳＳＳＳ．１＋２＋３＋４）１２３４）≥８（２

（）１０

２

ａｂｃ（）＋＋３≥３

ｈｈｈａｂｃ

当此三角形为正三角形时等号成立．其中ｍ≥１为

）））

ｍｍｍ

自然数．

另一个有趣的问题是，四面体是否也成立类似的不等式呢？本文给出了肯定回答，获得下面一个不等式．

定理２　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４成立不等式

１２３４２－ｍ（）＋＋＋４≥２

ｈｈｈｈ１２３４

当四面体为正面体时等号成立．其中ｍ≥１为

当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体时等号成立．

引理５　设实数ａａａ０，０＜ｂ１≥２≥…≥ｎ＞１≤或者０＜ｂｂａａａｂｂ２≤…≤ｎ；１≤２≤…≤ｎ，１≥２≥…则有ｂ０，ｎ＞

ｎ

ｉ

∑ａａｉｉ＝１

，≥ｎ·ｎ

∑ｂｉ＝１ｉ

ｉ

∑ｂｎ

ｉ＝１

））））

ｍｍｍｍ

实数．

］文献［中获得四面体一个重要不等式：１０

（）１１

５６

等号成立当且仅当ｂｂｂ１＝２＝…＝ｎ．

证明　利用Ｃ有ｈｅｂｓｈｅｖ不等式，ｙ

数学通报　　　　　　　　２０１５年　第５４卷　第３期

），（）由（得１７１９

２　

）Ｓ－２Ｓｉ＝１，２，３，４ｉ≥２（ｒｉ

ａｉ

∑ｉ＝ｉ＝１ｂ

ｎｎｉ

∑ａ

ｉ＝１

ｂｉ

（）２０

从而有

ａｉ）≥（∑ｉ∑ｎｉｉ＝１ｂ＝１

再利用算术平均与调和平均不等式，有

ｎ

（

ｎ

）

（）１２

（Ｓ－２Ｓ＝４ｉ）≥４

∏ｉ＝１２４２

ｒＳｒｉｉ∏∏

ｉ＝１

４

８　４８

（）２１）

（）２２

２

·ｎｎ≥∑ｉ

ｉ＝１ｂ

ｉ

∑ｂ

ｉ＝１

ｎ

（）１３

利用三角形的一个熟知不等式（见

ｉ＝１

［１４，１５］

），（）））由（两式便得（式，易知（中等号成１２１３１１１１

立当且仅当ｂｂｂ１＝２＝…＝ｎ．

以下记Ｓ＝ＳＳＳＳ１＋２＋３＋４．

引理６　对四面体Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４，则有

ｉ２

）ｒｉ＝１，２，３，４．ｉ≤（

２当ｆｉ为正三角形时等号成立．

），（）），由（便得（易知当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四２１２２１４面体时等号成立．

定理１的证明　利用四面体的旁切球半径计

１４

（Ｓ－２Ｓｉ）≥３·４∏ｉ＝１４

Ｓ∏Ｓｉ

ｉ＝１

４

８

（）１４

１４，１５］

，算公式［有

当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体时等号成立．

），证明　利用公式（有９

４

（）ｉ＝１，２，３，４ｉ＝ρＳ－２Ｓｉ

），（）利用（得２３１４

４

４

４

（）

（）２３

ｉｊ＝１，ｊ≠

ｉｊ＝∑ｌ

２Ｓｉ

）Ｓｊｓｉｎｉ＝１，２，３，４θｉｊ（∑３Ｖｊ＝１，ｉｊ≠

（）１５

４

Ｓ

４

∏ρ＝

ｉ

ｉ＝１

１３，１４］

，利用四面体的射影定理［

４

≤

３Ｖ

（Ｓ２Ｓ－ｉ）∏

４

ｉ＝１

１０　４

∏Ｓ

ｉ

（）２４

ｉ＝１

Ｓｉ＝

４

ｉｊ＝１，ｊ≠

）ｏｓｉ＝１，２，３，４θ（∑Ｓｃ

ｊ

ｉｊ

（）１６

，由算术—几何平均不等式和公式Ｓ＝得

ｒ

４４·　　∏ｉ≤８１０ρ　４

２×３Ｖｉ＝１

４

利用Ｃ有ａｕｃｈｙ不等式，

ｉｊ＝１，ｊ≠

４

ｉｎθｉｊ

∑Ｓｊｓ

ｉｊ＝１，ｊ≠４

·＝８１０

ｒ２×３

１

））

（）２５

４

·ｒ

４

＝≤

∑

［（（ＳｃｏｓＳｃｏｓθθｉｉｊ＋Ｓｊｊ－Ｓｊｊ）ｊ）

１

·４

＝８２８

２×３ｒ

即

４

１２３４≤（２ρρρρ

４ｒ

［∑［∑

ｉｊ＝１，ｊ≠

Ｓｃｏｓθｉｊ＋Ｓｊｊ）（·

２

ｉｊ＝１，ｊ≠

（Ｓｃｏｓθｉｊ－Ｓｊｊ）２（）Ｓ－２Ｓ１７＝２（ｉ设ｒＡ２Ａ３Ａ４的顶点Ａｉ是四面体Ａ１ｉ所对侧面ｆｉ（三角形）的内切圆半径．由四面体体积公式和三

），（）），由（便得（易知当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正面体２５７２

）时（中等号成立．２

定理２与定理３的证明：不失一般性，不妨假设Ｓ由公式（可知ρＳ２３）１≤２≤Ｓ３≤Ｓ４，１≤２≤ρ（再由四面体体积公式ｈｉ＝１，２，３，３≤４．ｉ＝ρρＳｉ

－１）·可知ｈ设ｘ４ｈｈｈ１≥２≥３≥４．ｉ＝（１２３４）ｉρρρρρ

－１

（，·ｈｉ＝１，２，３，４）ｈｈｈｈｉ＝１，２，３，ｙｉ＝（１２３４）ｉ（），则有ｘ由引４ｘｘｘｙｙｙｙ１≥２≥３≥４，４≥３≥２≥１．

角形面积公式，有

２Ｓｉ

３Ｖ＝ｒＳ＝∑ｌｉｊ

ｒｉｉｊ＝１，ｊ≠

４

４

（）１８

注：

ｉｊ＝１，ｊ≠

∑ｌ

ｉｊ

为三角形ｆｉ的周长．

））将（中两式代入（得，１８１５

·）（）ｓｉｎｉ＝１，２，３，４１９＝∑Ｓｊθｉｊ（

ｒｉ，１ｉ＝ｊｊ≠

４

理５有（）式左端６

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４

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ｘｉ

∑ｉｉ＝１

＝∑≥４·４

ｙｉｉ＝１

ｉ

∑ｙ

４

），（由（便得（易知当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四２９３０）６）．面体时等号成立．利用引理５，有

４

ｉ＝１

４４

·＝４

∑∏ρ

ｉｉ＝１＝１，４４ｉｉ＝１ｊ＝１，ｊ≠

∑

ｉ＝１

（）

３

４

ｊ

·＝４

ｉ＝１，４

∏

Ｓ－２Ｓｊ）（

４

ｉｉ＝＝∑∑ｉｉｉ＝１ｈ＝１

Ｓｉ

４

４

４

ｉ

∑Ｓｉｉ＝１Ｓ－２

４

∑∏ｈ

４

ｊ

∑

ｉ＝１

３

（）

ｉｊ＝１，ｊ≠

∏Ｓｊ

４

≥４·

∑Ｓ

ｉ＝１４

ｉ

∑

ｉ＝１

＝４·

（）３１＝４·＝２．

Ｓ２ＳＳ２Ｓ２Ｓ－－ｊ）ｊ）（（∏∏ｉｊ＝１，ｊ≠ｊ＝１

＝４·易知当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体时等号成立．４

４）不等式（说明当ｍ＝１时不等式（成立，４３１４）∑ｉ＝１

Ｓｊ∏下面证明当ｍ＞１时不等式成立．由幂平均不等∏Ｓｊｉ＝１

４

Ｓ－２Ｓ）∑（

ｉ

ｉ＝１

ｉｊ＝１，ｊ≠

４

＝８·

∏Ｓ

ｉ＝１４

有式，

（）２６

ｉ２－ｍ

（）３２≥ｍ－１∑≥２∑ｈ４ｉｉｉ＝１＝１

当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体时等号成立，所以不等

）对ｍ＞１成立．式（４

４

ｉ

Ｓ－２Ｓ）∏（

ｉ

ｉ＝１

）

ｉｈｉ

ｍ

（

４

）

ｍ

］），利用幂平均不等式（见［有１４

２ＳＳｉ）．≥（∑４∑ｉｉ＝１＝１

当Ａ１Ａ２Ａ３Ａ４为正四面体时等号成立．

），（）由（得１０２７

２

ｉ

４

４

４

（）２７

参考文献

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２００８，４

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∏Ｓ

ｉ＝１

４ｉ＝１

ｉ

≥

ｉ∑Ｓ

２５．２

７２

（）２８

），），由（算术－几何平均不等式及（得２６２８

（）式右端６

４

≥８·

∏Ｓ

ｉ＝１

ｉ

４

Ｓ－２Ｓｉ）（４∑ｉ＝１

４

４

］

［］９　Ｈ．Ｇｕｅｎｈｅｉｍｅｒ．ＳｏｍｅｉｎｅｕａｌｉｔｉｅｓｆｏｒａｔｒｉａｎｌｅＪ．Ａｍｅｒ．　　　　ｇｇｑｇ

，（）：Ｍａｔｈ．Ｍｏｎｔｈｌ１９９１，２１３５０－５６ｙ

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识，１９９４，３：５０－５６

＝２·

７

ｉ

∏Ｓｉ＝１４

·

４

３

∑Ｓ（∑Ｓ）

ｉ

ｉ

ｉ＝１

７常用不等式［济南：山东科学技术出版社，Ｍ］．２００４１１　匡继昌．

］关于内接单形的一个不等式［数学杂志，１２　杨世国．Ｊ．２００３，２：

２１８－２２０

≥４×·

４

ｉ＝１

２

３

（Ｓｉ）∑

３

．＝４Ｖ

（）２９

——三角形的高维推广研究［单形论导引—长沙：Ｍ］．１３　沈文选．

湖南师范大学出版社，２０００

，，ＭｉｔｒｉｎｏｖｉｃＪ．Ｅ．ＰｅｃａｒｉｃＶ．Ｖｏｌｅｎｃｅ．ＲｅｃｅｎｔＡｄｖａｎｃｅｓｉｎ１４　Ｓ．　　

，ＧｅｏｍｅｏｔｒｉｃＩｎｅｕａｌｉｔｉｅｓ［Ｍ］．ＤｏｒｄｒｅｃｈｔＫｌｕｗｅｒＡｃａｄｍｉｃ　　ｑ

ｉ＝１

［］）利用四面体一个熟知不等式（１３，１４３

Ｖ≤．

９当此四面体为正四面体时等号成立．

（）３０

，Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ１９８９