中学数学竞赛讲座及练习第27讲一元二次方程
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中学数学竞赛讲座及练习第27讲一元二次方程
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第二十七讲 一元二次方程
一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法．
方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为一元二次方程．
一元二次方程的基本解法有开平方法、配方法、公式法和国式分解法．
对于方程ax2+bx+c=0(a≠0)，△=b2-4ac称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即
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当△=0
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当△＜0
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分析 可以使用公式法直接求解，下面介绍的是采用因式分解法求解．
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因为
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例4 解方程：(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)．
分析 本题容易犯的错误是约去方程两边的(x-1)，将方程变为
3x-1=4x+1，
所以x=-2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．本题正确的解法如下．
解 (3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0，
(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0，
(x-1)(x+2)=0，
所以 x1=1，x2=-2．
例5 解方程：x2-3｜x｜-4=0．
分析
解法1 显然x≠0．当x＞0时，x，所以x1=4，x2=-1(舍去)．当x＜0时，x2+3x-4=0，所以x3=-4，x4=1(舍去)
1=4，x2=-4．
解法2 由于x2=｜x｜2，所以
｜x｜2-3｜x｜-4=0，
所以 (｜x｜-4)(｜x｜+1)=0，
所以 ｜x｜=4，｜x｜=-1(舍去)．
所以 x1=4，x2=-4．
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例6 已知二次方程
3x2-(2a-5)x-3a-1=0
有一个根为2，求另一个根，并确定a的值．
解 由方程根的定义知，当x=2时方程成立，所以
3×22-(2a-5)×2-3a-1=0，
故a=3．原方程为
3x2-x-10=0，即(x-2)(3x+5)=0，
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例7 解关于x的方程：ax2+c=0(a≠0)．
分析
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当c=0时，x1=x2
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当ac＞0(即a，c同号时)，方程无实数根．
例8 解关于x的方程：
(m-1)x2+(2m-1)x+m-3=0．
分析 讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分m-1=0与m-1≠0两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程)；当m-1≠0时，再分△＞0，△=0，△＜0三种情况讨论． 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
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解 分类讨论．
(1)当m=1时，原方程变为一元一次方程
x-2=0，
所以x=2．
(2)当m≠1时，原方程为一元二次方程．
△=(2m-1)2-4(m-1)(m-3)=12m-11．
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例9
a2(x2-x+1)-a(x2-1)=(a2-1)x．
解 整理方程得
(a2-a)x2-(2a2-1)x+(a2+a)=0．
(1)当a2-a≠0，即a≠0，1时，原方程为一元二次方程，因式分解后为
[ax-(a+1)][(a-1)x-a]=0，
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