点线距与两点距关系的妙用
上传者：孙莹|上传时间：2015-05-11|密次下载
点线距与两点距关系的妙用
点线距与两点距关系的妙用 由直线外一点与直线上各点所得的一切线段中垂线段最短可知：直线外一点与直线上任一点的距离不小于它到该直线的距离，即若M是直线l上任一点，点Ｎ到直线l的距离为d．则MN≥d．利用这一结论，可以非常方便地求解某些代数问题． １．证明等式
例１ 若a、b?Ｒ，且a?b2?b?a2＝１．求证： a2?b2＝１． 证明：由已知条件可知：点Ｐ（a，b）在直线l：?b2?x??a2?y?1上，∵ 原点Ｏ到直线l的距离不大于OP． 即1
(1?b2)?(1?a2)?a2?b2
22整理得：(a2?b2?1)2?0 即a?b=1
２．证明不等式
例２ 求证：（a?b）(x2?y2)?(ax?by)2
证明：设直线l：ax?by?c?0，则原点与直线l上任一点的距离，即为22x2?y2．由垂线最短知，此距离不小于原点到直线l的距离．即x2?y2? 又c??(ax?by)
∴ ca?b22 x2?y2a2?b2?ax?by ∴ （a2?b2）(x2?y2)?(ax?by)2 ３．求函数最值
例３ x、y满足x＋y＋１＝０，求x2?y2－2x－2y＋2的最小值．
22解：原式可化为(x?1)?(y?1)，其几何意义为两点Ｐ（x，y）和Ｑ（１，１）间距离的平方，而点（x，y）在直线x＋y＋１＝０上． 由PQ?d得 (x?1)?(y?1)?22?1?2
即 x2?y2－2x－2y＋2?
４．求取值范围 9． 2
例４ 已知：a＋2a＋b－2b＝０，求3a＋b的取值范围．
解：由a＋2a＋b－2b＝０得(a?1)2?(b?1)2＝2
令3a＋b＝? 则点Ｑ（a，b）在直线l：3x＋y－?＝０上． 2222
∵Ｐ（－1，1）到直线l的距离d??3?1??
???2
由PQ?d得 (a?1)2?(b?1)2???2
∴ ??2??2?2 ∴ ?2?25???2?2 即?2?25?3a?b?2?2
评注：通过以上几例可以看出：在求某些代数问题时，联想两点距与点线距的关系，则使问题变得直观简捷，不失为一种“巧思妙解”．
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