点线距与两点距关系的妙用

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点线距与两点距关系的妙用

点线距与两点距关系的妙用由直线外一点与直线上各点所得的一切线段中垂线段最短可知：直线外一点与直线上任一点的距离不小于它到该直线的距离，即若M是直线l上任一点，点Ｎ到直线l的距离为d．则MN≥d．利用这一结论，可以非常方便地求解某些代数问题．１．证明等式

例１若a、b?Ｒ，且a?b2?b?a2＝１．求证： a2?b2＝１．证明：由已知条件可知：点Ｐ（a，b）在直线l：?b2?x??a2?y?1上，∵ 原点Ｏ到直线l的距离不大于OP．即1

(1?b2)?(1?a2)?a2?b2

22整理得：(a2?b2?1)2?0 即a?b=1

２．证明不等式

例２求证：（a?b）(x2?y2)?(ax?by)2

证明：设直线l：ax?by?c?0，则原点与直线l上任一点的距离，即为22x2?y2．由垂线最短知，此距离不小于原点到直线l的距离．即x2?y2? 又c??(ax?by)

∴ ca?b22 x2?y2a2?b2?ax?by ∴ （a2?b2）(x2?y2)?(ax?by)2 ３．求函数最值

例３ x、y满足x＋y＋１＝０，求x2?y2－2x－2y＋2的最小值．

22解：原式可化为(x?1)?(y?1)，其几何意义为两点Ｐ（x，y）和Ｑ（１，１）间距离的平方，而点（x，y）在直线x＋y＋１＝０上．由PQ?d得 (x?1)?(y?1)?22?1?2

即 x2?y2－2x－2y＋2?

４．求取值范围 9． 2

例４已知：a＋2a＋b－2b＝０，求3a＋b的取值范围．

解：由a＋2a＋b－2b＝０得(a?1)2?(b?1)2＝2

令3a＋b＝? 则点Ｑ（a，b）在直线l：3x＋y－?＝０上． 2222

∵Ｐ（－1，1）到直线l的距离d??3?1??

???2

由PQ?d得 (a?1)2?(b?1)2???2

∴ ??2??2?2 ∴ ?2?25???2?2 即?2?25?3a?b?2?2

评注：通过以上几例可以看出：在求某些代数问题时，联想两点距与点线距的关系，则使问题变得直观简捷，不失为一种“巧思妙解”．

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