一道全国数学联赛四川省预赛试题解答的纠错

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命题感悟２０１４年３月

一道全国数学联赛四川省预赛试题解答的纠错

⑩新疆生产建设兵团第二中学张国治◎新疆生产建设兵团第二中学高三（１０）班陆玉锋

近期，笔者在数学竞赛备考时，发现２００９年一道全国数学联赛四川省预赛试题的解答是错误的，经笔者与学生研究，撰此文与读者分享．

题目（２００９年全国数学联赛四川省预赛第１６题）设正实数Ⅱ、６、ｃ满足ｏ≤６≤ｃ，且矛＋６２＋ｃ２＝９．证明：曲ｃ＋１＞

３仉

如图１，利用几何画板画蝴ｎ）＝２扩一９矿＋９矛一６ｎ＋１，ｎ∈

［÷，、／＿］的图像，可见，函数并非单调．事实上，７（、／’丁）＝６（３、／了一１）＞ｏ／’（÷）．詈（吉一３）＜ｏ，所以，至少存在一点戈。∈［÷，、／了）使得厂’（‰）＝ｏ，这样当÷≤Ⅱ≤、／了

时，７（ｏ）＜ｏ不恒成立，因此不能判断（ｎ）在÷≤ｏ≤

、／了上单调递减，从而上述解法是错误的．

反思：上述解题思路容易想到，但具体操作时显得无能为力．反思上述解答中参数口的分类讨论标准：３０—

订．又由（ｃｖ）（６ｑ）≥咖６ｃ≥口坼瓣≈、乒磊，

得曲ｃ≥矛、／蕊，所以，只需证明矛、佰二霜＞３ｎ—１．

１

文［１］提供标准解答：由条件９＝矛＋６２＋ｃ２≥３矛，故口≤

（１）当３口一１＜ｏ，即ｏ＜畎÷时，结论显然成立；

ｊ

ｌ

（２）当３０一１≥０，即二≤ｎ≤、／３时，只需证明∥（９—

３

２口２）＞（３俨１）２，即只需证２ｎ６＿９∥＋９矿一６口＋１＜Ｏ．

６＝１２矿（Ⅱ２＿３）＋６（Ⅱ一３）．

１

１

①

（木）

记八ｏ）＝２∥一９ｎ４＋９矿一６０＋１，贝４厂’（口）＝１２∥一３６矿＋１８口一

ｌ＝ｏ，即胆÷是很容易想到的，但在÷≤。≤、／了上却很

难证明．这就促使我们反思调整口的分类讨论标准，基于

当÷≤口≤订时，有矛一３＜ｏ，ｎ一３＜ｏ．故当÷≤ｎ≤

、／了时厂’（ｎ）＜ｏ，因此

）Ｉ

上述分析和待证不等式的结构，便有如下正确的证明方

法．

曰（０．３３．０．００Ｄ

解法１：由条件９＝矛＋６ｚ＋ｃｚ≥３ｎｚ，得口≤、／了．又由（ｃ：一

厂（Ⅱ）在÷≤ａ≤、／了

上单调递减，所以“口）

影（÷）＝；一；＋；一

要＋１＜ｏ，即①式成立．

解答错了，错在哪里？错在（术）式厂’（ｏ）＝

１２ｎ５—３６矿＋１８Ⅱ一６＝

’）

Ａ

戈

Ａ（１．７

∥）（６２—０２）≥０，知６ｃ≥ｏ～佰ｉｉ［孑＝口～勾瑶，得拍ｃ≥

Ⅱ２、侮二磊，所以，只需证明孑、侮乏孑＋１＞３皿

一６ｘ＋ｌ

“工）＝２

式得（矛、／面＋１）ｚ≥（妃、／、／瓣）ｚ＝４舻、侮＝孬≥

立．

（１）当０＜口≤Ｉ时＇、佰二露≥、／了，于是由均值不等

４～可孑＝～１瓦ｎ２＞俩矛＝９矛，所以，矛～佰二：孬＋１＞３口成

（２）当ｌ＜口≤、／了时，只需证（孑、／蕊）ｚ＞（３口一１）ｚ，

Ｊ困为２扩一９扩＋９矛一６８＋ｌ＜２∥一９∥＋９口２—５＝２扩一９∥＋１０矿一

②

１２矿（０２—３）＋６（３ｎ一１）≠１２矿（矛一３）＋６（ｎ一３），

即证２０６＿９小６ｎ＋１＜０．

３一（孑＋２），

从而当÷≤Ⅱ≤、／了

时，无法判断厂’（ｏ）＜ｏ，

即无法确定其单调性．

令矛＝￡（１＜￡≤３），则式②右端＝２扣９￡２＋１ｍ一３一（ｆ＋２）＝

（２￡一１）（ｆ一１）（ｆ一３）一（￡＋２）．

■■■一十’？敷?７高中版万方数据

２０１４年３月

圃盈

为分类标准，便有如下更简洁明快的证法．

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又ｌ＜￡≤３时，有２￡一１＞０，￡一１＞０，ｔ一３＜０，ｆ＋２＞０．所以，（２ｆ—１）（ｆ一１）（ｆ一３）一（ｆ＋２）＜０．即２矿一９０４＋９矛一６ｎ＋ｌ＜Ｏ成立．综上，原不等式成立．

第（２）问的证明也可以采用如下方法：

矛）（６２一０２）≥Ｏ知６ｃ≥ｏ、／伍≮孺＝Ⅱ～勾瑶，得曲ｃ≥

解法２：由条件９＝矛＋６２＋ｃ２≥３矛，得ｎ≤订．又由（ｃ２＿

矿、懦，所以只需证明孑、／蕊＋１＞３以

２ａ６—９ｃｚ４＋９口２－６ａ＋ｌ＝２?∥Ｌ９∥＋９Ⅱ２—２—６口＋３＝（ａ２—１）（２?冉

７—７ｃ１２＋２）一３（２０—１）．

设矛＝ｆ（１＜ｔ≤３），贝０９（ｔ）＝２ｆ２—７￡＋２＝２ｎ４—７矿＋２，而ｇ（１）

于是由均值不等式得（ｎ２、／蕊＋１）ｚ≥（ｎｚ、／百＋１）ｚ：

（２Ⅱ、／、／百）２＝、／丽ｎ２＞、／豇ｏ≮９矿因此，矿、／酉二乏孑＋１＞３皿

（１）当。妃≤！笋，即。耐≤寻时，何≥、／百，

（２）当半＜。≤订朋丢＜矛≤３时，

一３＜０９３）＝一ｌ＜ｏ，ｇ（丢卜一寻＜ｏ，故对Ｖｒ∈（１，３］ｄｔ）

＜０，即当１＜ｏ≤、／３时，２（，一７Ⅱ：～２＜０，矛一１＞０，２０一１＞０．

所以，２（产一９矿＋９孑一６０＋１＜０．

反思：解法１中分类标准如何确定？是否还有其他合适的分类标准？按上述解题思路，笔者给出如下推广．

矿何一３。：。（。何一３）：竺！竺生兰生塑：

口、／９—２舻＋３

矛）≥０知６ｃ≥ｏ～侣百碍＝口、伯爵，得０６ｃ≥舻～写二：孬，

所以，只需证明Ⅱ２、佰二掰＋１＞３以

不等式得（矛、／弓乏孑＋１）ｚ≥（２ｎ、／、侮乏矿）ｚ４矛、佰二乏酽，

由条件９＝孑＋６２＋ｃ２≥３矿，得ｏ≤订．又由（ｃ２一矿）（６２＿

—————二——竺二≥０，所以孑～佰二露≥３口，即０２、巧田

ｎ、／９—２矛＋３

＋１≥３Ⅱ＋ｌ＞３以

２Ⅱ（３一孑）（矛一÷）

（１）当ｏ＜ｏ≤Ａ时，、佰二猛≥、／研，于是由均值

综上，原不等式成立．

解法２的分类讨论标准也可按下述分析过程获得．由条件９＝矛＋６２＋ｃ２≥３ｎ２，得ｎ≤、／丁．又由（ｃ２－矛）（６ｚ一口２）知

只需证明４矛何＞９孑，所以Ａ＜、／曼＝１．４０３１２１５２，

眦矛衄＋１＞３以腻Ａ＜僵

即证２ｃ—一９ｃｆ４＋９∥一６ｎ＋１＜０．

因为２扩一９∥＋９孑一缸＋１＝２∥一９０４＋９矛一２—６０＋３＝（矛一１）（２∥一７矛＋２）一３（２口一１），设矿＝￡（Ａ２＜ｆ≤３），则ｇ（￡）＝

（２）当Ａ妃≤、／３时，只需证（矛、／９—２０２）２＜（３０一１）２，

６ｃ≥ｎ、／矿蕊＝叭佰＝疗，得Ⅱ６ｃ≥孑、何二爵，所以只

需证明０２、何二露＋１＞３以

（１）若ｎ２、佰爵≥３Ⅱ，即ｏ、眄瑶≥３，也即矛（９—

２０２）≥９ｊ２（矛）２—９ｎ２＋９≤ｏｊ（２矿一３）（矛一３）≤ｏ，即要≤

矛≤３时，矿、佃爵≥３０，所以舻、店啄＋１≥３０＋１＞３以

２￡２—７ｆ＋２＝２∥一７孑＋２，易知ｇ（ｆ）在￡∈【１，寺Ｊ上单调递减，

（２）矿、／砑＜３。，即ｏ＜矛＜要或矿＞３（舍去），此时

孑、压田＋ｌ≥矛订＋ｌ≥２０、／订：◇厮口＞勺丽ｎ：

３以

在ｆ∈【÷，３Ｊ上单调递增．而ｇ（１）一３＜ｏ，ｇ（．３）＝一１＜ｏ，此

时若限定Ａ＝［１＇、／曼］，当Ａ＜。≤、／了时，２∥一７矛＋２＜ｏ，

孑一１＞Ａ２一ｌ≥Ｏ，２ｎ一１＞２Ａ—ｌ≥１，所以（口２—１）（２矿一７矿＋２）一３（２铲１）＜０，即２０６＿９ｄ４＋９矛一６叶１＜０成立．

综Ｅ，原不等式成立．

综上，原不等式成立．

参考文献：

分０＜ｏ≤Ａ和Ａ＜ｎ≤订两类，按上述证明可出现多种

不同证明思路．

评注：可见，按上述证明不难发现对ＶＡ∈［１，、／卦

１．中国数学会普及工作委员会主编．２０１０年高中数

学联赛备考手册［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２０１０．

２．黄立俊．让新教材成为师生教学研究的鲜活素材［Ｊ］．中学数学（上），２０１２（１１）．

３．张国治．向量的一个结论及其应用［Ｊ］．中学数学

事实上’若取晗当雌幽眦＝孚∈［１，、／曼］

万方数据

（上），２０１２（１１）．圃

高中版中。７戴?？——■Ｉ

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年，卷(期)：张国治， 陆玉锋张国治(新疆生产建设兵团第二中学)， 陆玉锋(新疆生产建设兵团第二中学高三(10)班)中学数学Middle School Mathematics2014(5)

参考文献(3条)

1.中国数学会普及工作委员会 2010年高中数学联赛备考手册 2010

2.黄立俊 让新教材成为师生教学研究的鲜活素材 2012(11)

3.张国治 向量的一个结论及其应用 2012(11)

引用本文格式：张国治.陆玉锋 一道全国数学联赛四川省预赛试题解答的纠错[期刊论文]-中学数学 2014(5)