一道平面几何题的十种证法

上传者：陈强强
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上传时间：2015-05-12
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一道平面几何题的十种证法

题目：如图1，△ABC中，D、F在AB上，AD=BF，过D作DE∥BC，交AC于E，过F作FG∥BC交AC于G．

求证：BC=DE＋FG．

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分析：证明一条线段等于另外两条线段的和，常用的方法是将线段的位置平移：

（1）延长较短线段与较长线段相等；

（2）在较长线段上截取与较短线段相等的线段；

（3）将线段适当移动位置后进行比较；

（4）采用其它比较方法，如解析法，三角法，面积法等．

一、延长较短线段与较长线段相等

解法1 如图2，延长FG到H，使FH等于BC，连结CH．（关键证GH=DE即可）．

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由作法知 FH平行且等于BCFBCH是平行四边形CH=BF．

在△ADE和△CHG中，CH=BF=AD．

由CH∥

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AB∠A=∠2，又∠1=∠B，∠H=∠B，所以

∠1=∠H．∴△ADE≌△CHG，则DE=GH，

故BC=FG＋GH=DE＋FG．

证法2 如图3，仍延长FG到H，使GH=DE，连结CH．

（关键证BC=FH）．

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由DE∥BC∥

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FG∠1=∠2=∠3．

又AD=FB，所以AE=GC．

∴△ADE≌△CHG，（SAS）

∴∠A=∠

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GCHAB∥CH．

∴四边形FBCH是平行四边形，所以，BC=FH，

∴BC=DE＋FG．

证法3 如图4，延长DE到H，使DH=BC，连结CH．

（关键证FG=EH）．

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由DBCH及DH=BC．

再△AFG≌△CHE，得FG=EH．

二、恰当地将线段平移

证法4 如图

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找EG的中点K，连接DK并延长DK交FG的延长线于H，可证得 △DEK≌△

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HGKDE=GH．

∠A=∠GCH 再证得 △ADE≌△CHG，（或证△ADK≌△CHK）

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