佛冈一中高二级数学竞赛试题(答案)(2013年1月)

优秀试题

佛冈一中高二级数学竞赛试题（2013年1月）

班别_________ 学号_________ 姓名_________ 成绩________

一、 选择题（每题5分，共30分）

1．非空集合S??． 1,2,3,4,5,?,且若a?S,则必有6?a?S，则所有满足上述条件的集合S共有（ B ）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

2．设集合A?{x|log1(x?1)??2}，B?{x|2x?x?1}，则A22B等于（ ▲ ）

A．{x|x?0,或1?x?3}

C．{x|?1?x?0,或1?x?3} B．{x|x?3} D．{x|0?x?1}

B?{x|?1?x?0,或1?x?3}，选解：可得A?{x|?1?x?3}，B?{x|x?0,或x?1}，所以AC．

3．已知A为?ABC的最小内角，若向量a?(cosA,1),b??2sin(A?

( ▲ )

A．??????),1?，则a?b的取值范围是 6??15??15??5??5?,? B．??,? C．?2,? D．?2,? ?22??22??2??2?

【答案】C

【解析】a?b?2sin(A??

6)cosA?1?AcosA?cos2A?

1

?1?cos2A?32A??1?sin(2A?)?， 262

???5?5A?(0,]?2A??(,]?a?b?[2,]. 36662

4．有三个命题：

（1）空间四边形ABCD中，若AC=BC，AD=BD，则AB⊥CD．

（2）过平面?的一条斜线l存在一个平面与?垂直．

（3）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直．

其中正确的命题个数（ D ）．

A

．0 B．1 C．2 D．3

5．如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点．

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一点跳到另一点．若它停在 1 1

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奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳 ．两个点．该蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是A ．

A．1 B．2

D．4

6．函数f(x)?ln|x?1|?x?3的零点个数为（ ▲ ）

A．0 B．1 C．2 解：f(x)?0?ln|x?1|?x?3，所以f(x)的零点 个数即函数y?ln|x?1|与函数y?x?3的交 点的个数，作图可知有3个交点，选D．

7．若

C．3

D．3

a?0,a?1,F(x)

是R上的奇函数，则

11

G(x)?F(x)(x?)是（B ）．

2a?1

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．奇偶性与a相关

8．已知定义域为R上的函数

f(x)满足f(2?x)??f(2?x),当x?2时,f(x)单调递增，如果

x1?x2?4,且(x1?2)(x2?2)?0,则f(x1)?f(x2)的值（ C ）

A．可能为0 B．恒大于0 C．恒小于0 D．可正可负

二、 填空题（每题5分，共30分）

9．已知f(x)是定义在（?1,1）上的偶函数，且在?0,1?上为增函数，若f(a?2)?f(4?a2)?0，则实数a的取值范围

3,2?2,5 ．

???

10．在空间直角坐标系中，已知点A的坐标是（1，?2，11），点B的坐标是 （4，2，3），点C的坐标是（6，?1，4），则三角形ABC的面积是

． 2

b

的取值范围是 a?2

11．若实数

22

a,b满足条件a?b?2a?4b?1?0， 则代数式

[0,

12

] ． 5

2x21

f(1)?f(2)?f(3)????f(2008)?f()+ 12．已知函数f(x)?，那么

21?x2

11

f()????f() 32008

?1?x2

13．设集合A??x?2?4?和B?xlog2x??x??2，其中符号?x?表示不大于x的最大整数，

?4?

则AB? ▲ ．

?

?

??

【答案】

? 2

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【解析】∵1?2x?4，??2?x?2，??x?的值可取?2,?1,0,1. 4

22当[x]=?2，则x?2，∴x

= 当[x]=?1，则x?3，无解；

22当[x]=0，则x?4，无解. 当[x]=1，则x?5，无解；

综上AB?. ?（x）?f(x?1)?（f5?x）（x）14．y?f(x)是定义域为R的函数，g，若函数y?g有且仅有4个不同的

零点，则这4个零点之和为 ▲ ．

（x）（4-x）?g（x）解：g，y?g有对称轴x?2，故4个零点和为8．

3

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三、 解答题：（共80分）

15、已知函数f(x)?Asin(3x??)(A?0，x?(??，??)，0???π在x?

(1) 求f(x)的最小正周期；

(2) 求f(x)的解析式； π时取得最大值4． 12

(3) 若π?12?2f?????，求sin?． 12?5?3

2π． 31. 解：（1）T?

（2）由题设可知A?4且sin?3?

则????π?????1． 12?πππ??2kπ，得???2kπ（k?Z）． 442

π∵0???π，∴??． 4

∴π??f(x)?4sin?3x??． 4??

π?π?12?2?f?????4sin?2????4cos2??， 12?2?5?3?（3）∵

3， 5

112∴sin??(1?cos2?)?．

25∴cos2??

∴sin??． 16.、某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

解法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z?2.5x?4y，且x，y满足

4

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?x≥0，y≥0，?x≥0，y≥0，

?12x?8y≥64，?3x?2y≥16，?? 即? ??6x?6y≥42，?x?y≥7，

???6x?10y≥54.?3x?5y≥27.

0)，B(4，3)，C(2，5)，D(0，8)处的值分别是 z在可行区域的四个顶点A(9，

ZA?2.5?9?4?0?22.5，ZB?2.5?4?4?3?22，

ZC?2.5?2?4?5?25，ZD?2.5?0?4?8?32．

比较之，ZB最小．因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

解法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z?2.5x?4y，且x，y满足

?x≥0，y≥0，?x≥0，y≥0，

?12x?8y≥64，?3x?2y≥16，?? 即 ???6x?6y≥42，?x?y≥7，

???6x?10y≥54.?3x?5y≥27.

让目标函数表示的直线2.5x?4y?z在可行

3)域上平移，由此可知z?2.5x?4y在B(4，

2.5x?4y?0因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

17、 如图6，已知正方体ABCD?A1的中心，点F、G分1BC11D1的棱长为２，点E是正方形BCC1B

别是棱C1D1,AA1的中点．设点E1,G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．

（1）求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；

（2）证明：直线FG1?平面FEE1；

（3）求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．

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