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2015年4月12日浙江省数学竞赛试卷及答案精美word版

上传者:李裕能
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上传时间:2015-04-15
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2015年4月12日浙江省数学竞赛试卷及答案精美word版

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分)

x2y2

1.“a =2,

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b 是“曲线C:2 2 1(a,b R,ab

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0)经过点

ab

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A.

”的( A ).

x2y2

解答:当a =2,

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b C:2 2

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1经过

ab

x2y2

;当曲线C:2 2 1经过

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ab

时,即有

21

2

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1,显然a 2,b “a =2,

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b 2

ab

x2y2

是“曲线C:2 2

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1经过点

ab

”的充分不必要条件。

2.已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2,则实数m的取值范围为( B ).

A. m 1 B. 1 m 答案:B.

解答:由题意可知:

A1

33

C. m 3 D.m 3 22

1

m (m 1) m 23

1 m 解得。 222

2 (m 2) m (m 1) m(m 1)

3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点, 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ). A.

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第3题图

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1

B. C.

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D

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2

答案:C.

解答:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则

1

D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,),且平面ACD1的法向量为

2

法向量为n2 (

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1,2,2)。因此cos n1,n2 n1 (1,1,1),平面MCD1M-CD1

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-A,即二面角3

。 a b 2 0

a 2b

4.若实数a,b满足 b a 1 0,则的最大值为 ( C ).

2a b a 1

A. 1 B. 答案:C.

解答:由a,b满足的条件知1

57

C. D. 2 45

a 2bb

3,所以 2 a2a b

32 b

a

713

,当(a,b) (,)取等

225

号。

5. 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则

S PQRS ABC

的最小值为( D ).

A.

1111

B. C. D. 2345

参考答案:D.

解答:如图5-1所示,

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A

P H

B 图5-1 图5-2

(1)当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上,则P,C,Q,R四点共圆,

APR CQR 180 BQR,所以sin APR sin BQR.在 APR, BQR中分别应

用正弦定理得

PRARQRBR

.又 A B 45,故PR QR,故 ,

sinAsinAPRsinBsinBQR

AR BR即R为AB的中点.

S PQR1

过R作RH AC于H,则PR RH BC,所以

2S ABC

1

(BC)2

PR1 ,此BC2BC24

2

S PQRS ABC

的最大值为

1

. 4

(2)当 PQR的直角顶点在 ABC的直角边上,如图5-2所示,设

BC 1,C R(x 0 x 1),B R Q ( 0

CRx

, sin sin

2

) 90 PRC BRQ . ,则 CPR

在Rt CPR中,PR

x3

, RQB QRB B , sin 4x

PQRB1 x

由正弦定理,

3sinBsin PQBsinsin( )44

x111x2112

) ()2. ,因此S PQR PR (sin cos 2sin 22sin 2cos 2sin

在 BRQ中,BR 1 x,RQ PR S PQRS ABC

(

111

)2 ,当且仅当 arctan2取222

cos 2sin (1 2)(cos sin )5

的最小值为.

等号,此时

S PQRS ABC

1

5

6. 已知数列 an 的通项an

nx

(x 1)(2x 1)

(nx 1)

,n N,若

*

a1 a2

A.

a2015 1,则实数x等于( D ).

35911 B. C. D. 2406012

答案:D.

an

(nx 1) 111

(x 1)(2x 1)(nx 1)(x 1)(2x 1)[(n 1)x 1](x 1)(2x 1)

(nx 1)

2015

ak 1

k 1

1

1 (x 1)(2x 1)

(x 1)(2x 1)(2015x 1)

(

(2015x 1) 0,所以

111

x ( 1, ) ( , )

23411111

, ) ( , ),经检验只有x 20132014201560

符合题意。

7. 若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能等于 ( C ). ...A.

261961636

B. C. D.

553175

答案:C.

解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a,面积为S,过P的直线的倾斜角为 (0

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当过点

2

)。

P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时,

PQsin a RScos sin 4cos sin S (PQsin )2

16

。 17

,此时正方形的面积同理,当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时,S 方形的对边所在的直线时,S

36

;当过点P,S的直线为正5

196

. 53

8.若集合A (m,n)(m 1) (m 2)

(m n) 102015,m Z,n N* ,则集合A

中的元素个数为( B ).

A.4030 B.4032 C. 20152 D. 20162 答案:B.

解答:由已知得n(n 2m 1) 2

20162015

5,因为n,n 2m 1一奇一偶,所以n,n 2m 1两

者之一为偶数,即为22016,220165,2201652,,2201652015共有2016种情况,交换顺序又得到

2016种情形,所以集合A共有4032个元素.

二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14每题7分,15题8分,共50分)

9.已知函数f(x)满足f(x 1) f(1 x) 0,f(x 2) f(2 x) 0,且f() 1,则

23

1000f()

3

答案: 1.

解答:f(x 2) f(2 x) f[1 (x 1)] f[1 (x 1) f(x) f(x 4) f(x),所以

100044112f() f(332 ) f) f(1 ) f(1 ) f) 1.

333333

10.若数列{an}的前n项和Sn

n n,n N,则

3

2

*

2015i 1

1

ai 8i 2

答案:

2015

. 6048

解答:an

2015

a a

ii 1

i 1

nn 1

i

3n2 5n 2,又a1 0,故an 3n2 5n 2(n N*),

20152015111201511

. ( ) a 8i 23i(i 1)3ii 16048i 1ii 1i 1

11. 已知F为抛物线y 5x的焦点,点A (3,1), M是抛物线上的动点.当|MA| |MF|取最小值时,点M的坐标为 . 答案:(

2

1

,1). 5

解答:设抛物线的准线为l:x

5

.过M作l的垂线,垂足为H,则

4

AM MF AM MH AH,当A,M,H三点共线时取等号,此时M的坐标为

1

(,1)。 5

12.若16答案:

sin2x

16

cos2x

10,则cos4x 1. 2

sin2x

解答:设t 16,1 t 16,则16cosx 161 sinx

22

1616

10 t 2,或,代入方程得t tt

t 8,即

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