2015年4月12日浙江省数学竞赛试卷及答案精美word版
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2015年4月12日浙江省数学竞赛试卷及答案精美word版
2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分)
x2y2
1.“a =2,
内容需要下载文档才能查看b 是“曲线C:2 2 1(a,b R,ab
内容需要下载文档才能查看0)经过点
ab
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A.
”的( A ).
x2y2
解答:当a =2,
内容需要下载文档才能查看b C:2 2
内容需要下载文档才能查看1经过
ab
点
x2y2
;当曲线C:2 2 1经过
内容需要下载文档才能查看ab
时,即有
21
2
内容需要下载文档才能查看1,显然a 2,b “a =2,
内容需要下载文档才能查看b 2
ab
x2y2
是“曲线C:2 2
内容需要下载文档才能查看1经过点
ab
”的充分不必要条件。
2.已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2,则实数m的取值范围为( B ).
A. m 1 B. 1 m 答案:B.
解答:由题意可知:
A1
33
C. m 3 D.m 3 22
1
m (m 1) m 23
1 m 解得。 222
2 (m 2) m (m 1) m(m 1)
3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点, 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ). A.
内容需要下载文档才能查看
第3题图
内容需要下载文档才能查看1
B. C.
内容需要下载文档才能查看D
内容需要下载文档才能查看2
答案:C.
解答:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则
1
D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,),且平面ACD1的法向量为
2
法向量为n2 (
内容需要下载文档才能查看1,2,2)。因此cos n1,n2 n1 (1,1,1),平面MCD1M-CD1
内容需要下载文档才能查看-A,即二面角3
。 a b 2 0
a 2b
4.若实数a,b满足 b a 1 0,则的最大值为 ( C ).
2a b a 1
A. 1 B. 答案:C.
解答:由a,b满足的条件知1
57
C. D. 2 45
a 2bb
3,所以 2 a2a b
32 b
a
713
,当(a,b) (,)取等
225
号。
5. 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上,记△PQR,△ABC的面积分别为S△PQR,S△ABC,则
S PQRS ABC
的最小值为( D ).
A.
1111
B. C. D. 2345
参考答案:D.
解答:如图5-1所示,
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看A
P H
B 图5-1 图5-2
(1)当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上,则P,C,Q,R四点共圆,
APR CQR 180 BQR,所以sin APR sin BQR.在 APR, BQR中分别应
用正弦定理得
PRARQRBR
.又 A B 45,故PR QR,故 ,
sinAsinAPRsinBsinBQR
AR BR即R为AB的中点.
S PQR1
过R作RH AC于H,则PR RH BC,所以
2S ABC
时
1
(BC)2
PR1 ,此BC2BC24
2
S PQRS ABC
的最大值为
1
. 4
(2)当 PQR的直角顶点在 ABC的直角边上,如图5-2所示,设
BC 1,C R(x 0 x 1),B R Q ( 0
CRx
, sin sin
2
) 90 PRC BRQ . ,则 CPR
在Rt CPR中,PR
x3
, RQB QRB B , sin 4x
PQRB1 x
由正弦定理,
3sinBsin PQBsinsin( )44
x111x2112
) ()2. ,因此S PQR PR (sin cos 2sin 22sin 2cos 2sin
在 BRQ中,BR 1 x,RQ PR S PQRS ABC
(
111
)2 ,当且仅当 arctan2取222
cos 2sin (1 2)(cos sin )5
的最小值为.
等号,此时
S PQRS ABC
1
5
6. 已知数列 an 的通项an
nx
(x 1)(2x 1)
(nx 1)
,n N,若
*
a1 a2
A.
a2015 1,则实数x等于( D ).
35911 B. C. D. 2406012
答案:D.
an
(nx 1) 111
(x 1)(2x 1)(nx 1)(x 1)(2x 1)[(n 1)x 1](x 1)(2x 1)
(nx 1)
2015
则
ak 1
k 1
1
1 (x 1)(2x 1)
(x 1)(2x 1)(2015x 1)
(
(2015x 1) 0,所以
111
x ( 1, ) ( , )
23411111
, ) ( , ),经检验只有x 20132014201560
符合题意。
7. 若过点P(1,0),Q(2,0),R(4,0),S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则该正方形的面积不可能等于 ( C ). ...A.
261961636
B. C. D.
553175
答案:C.
解答:不妨设四条直线交成的正方形在第一象限,且边长为a,面积为S,过P的直线的倾斜角为 (0
内容需要下载文档才能查看当过点
2
)。
P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时,
PQsin a RScos sin 4cos sin S (PQsin )2
16
。 17
,此时正方形的面积同理,当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时,S 方形的对边所在的直线时,S
36
;当过点P,S的直线为正5
196
. 53
8.若集合A (m,n)(m 1) (m 2)
(m n) 102015,m Z,n N* ,则集合A
中的元素个数为( B ).
A.4030 B.4032 C. 20152 D. 20162 答案:B.
解答:由已知得n(n 2m 1) 2
20162015
5,因为n,n 2m 1一奇一偶,所以n,n 2m 1两
者之一为偶数,即为22016,220165,2201652,,2201652015共有2016种情况,交换顺序又得到
2016种情形,所以集合A共有4032个元素.
二、填空题(本大题共有7小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14每题7分,15题8分,共50分)
9.已知函数f(x)满足f(x 1) f(1 x) 0,f(x 2) f(2 x) 0,且f() 1,则
23
1000f()
3
答案: 1.
解答:f(x 2) f(2 x) f[1 (x 1)] f[1 (x 1) f(x) f(x 4) f(x),所以
100044112f() f(332 ) f) f(1 ) f(1 ) f) 1.
333333
10.若数列{an}的前n项和Sn
n n,n N,则
3
2
*
2015i 1
1
.
ai 8i 2
答案:
2015
. 6048
解答:an
2015
a a
ii 1
i 1
nn 1
i
3n2 5n 2,又a1 0,故an 3n2 5n 2(n N*),
20152015111201511
. ( ) a 8i 23i(i 1)3ii 16048i 1ii 1i 1
11. 已知F为抛物线y 5x的焦点,点A (3,1), M是抛物线上的动点.当|MA| |MF|取最小值时,点M的坐标为 . 答案:(
2
1
,1). 5
解答:设抛物线的准线为l:x
5
.过M作l的垂线,垂足为H,则
4
AM MF AM MH AH,当A,M,H三点共线时取等号,此时M的坐标为
1
(,1)。 5
12.若16答案:
sin2x
16
cos2x
10,则cos4x 1. 2
sin2x
解答:设t 16,1 t 16,则16cosx 161 sinx
22
1616
10 t 2,或,代入方程得t tt
t 8,即
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