高中数学竞赛 平面几何讲座第3讲 点共线、线共点
上传者:程远楚|上传时间:2015-04-15|密次下载
高中数学竞赛 平面几何讲座第3讲 点共线、线共点
第三讲 点共线、线共点
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1. 点共线的证明
点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图,设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD,
BFCG。又作平行四边形CFHD,CGKE。求证:H,C,K三点共线。 证 连AK,DG,HB。
G
由题意,ADECKG,知四边形AKGD是平行四边形,于是AKDG。同样可证
行四边形,其对AKHB。四边形AHBK是平A
角线AB,KH互相平分。而C是AB中点,线
段KH过C点,故K,C,H三点共线。
例2 如图所示,菱形ABCD中,∠A=120
内容需要下载文档才能查看为△ABC外接圆,M为其上
一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F。求证:D,E,F三点共线。
证 如图,连AC,DF,DE。
因为M
内容需要下载文档才能查看在
上,
则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB
内容需要下载文档才能查看有△AMC∽△ACF,得
MCCFCF
。 MACACD
又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得
MCACAD
。 MAAEAE
CFAD
所以,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽ CDAE
△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是F,E,D三点共线。
例3 四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的
延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E,F。求证:P,E,F三点共线。 证 如图。 连接PQ,并在PQ上取一点M,使得
B,C,M,P四点共圆,连CM,PF。设PF与圆的另Q易如 一交点为E’,并作QG丄PF,垂足为G。(EQE2=QM·QP=QC·QB ①
∠PMC=∠ABC=∠PDQ。
从而C,D,Q,M四点共圆,于是
PM·PQ=PC·PD ② 由①,②得
PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB, 即PQ2=QC·QB+PC·PD。
易知PD·PC=PE’·PF,又QF2=QC·QB,有
PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2,
即PE’·PF=PQ2-QF2。又
PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF)·(PG-GF)
=PF·(PG-GF),
从而PE’=PG-GF=PG-GE’,即GF=GE’,故E’与E重合。 所以P,E,F三点共线。
例4 以圆O外一点P,引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点。割线PCD交
圆O于C,D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点,求证:A,F,E三点共线。
证 如图,连AF,EF,OA,OB,OP,BF,OF,
延长FC交BE于G。 易如OA丄AP,OB丄BP, OF丄CP,所以P,A,F,O,B
五点共圆,有∠AFP=∠AOP=∠POB=
内容需要下载文档才能查看∠PFB。
又因CD∥BE,所以有
∠PFB=∠FBE,∠EFD=∠FEB,
而FOG为BE的垂直平分线,故EF=FB,∠FEB=∠EBF, 所以∠AFP=∠EFD,A,F,E三点共线。
2. 线共点的证明
证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点),或证明第3条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明。
例5 以△ABC的两边AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG。
△ABC的高为AH。求证:AH,BF,CD交于一点。
证 如图。延长HA到M, M
使AM=BC。连CM,BM。 设CM与BF交于点K。 在△ACM和△BCF中, G
内容需要下载文档才能查看AC=CF,AM=BC,
∠MAC+∠HAC=180°, D
FK∠HAC+∠HCA=90°,
并且∠BCF=90°+∠HCA, 因此∠BCF+∠HAC=180°
∠MAC=∠BCF。
从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。
所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°, 即 BF丄MC。
同理CD丄MB。AH,BF,CD为△MBC的3条高线,故AH,BF,CD三线交于一点。
例6 设P为△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。又设D,E分别
是△APB及△APC的内心。证明:AP,BD,CE交于一点。
证 如图,过P向三边作垂线,垂足分别为R,S,T。
连RS,ST,RT,设BD交AP于M,CE交AP于N。
易知P,R,A,S;P,T,B,R; P,S,C,T分别四点共圆,则 ∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT。
同理,∠APC-∠ABC=∠RST,
由条件知∠SRT=∠RST,所以RT=ST。 又RT=PBsinB,ST=PCsinC, 所以PBsinB=PCsinC,那么
PBPC
。 ABAC
由角平分线定理知
ANACABAM
。 NPPCPBMP
故M,N重合,即AP,BD,CE交于一点。 例7
内容需要下载文档才能查看
1
内容需要下载文档才能查看与
O2外切于P点,QR为两圆的公切线,其中Q,R
内容需要下载文档才能查看分别为
O1
内容需要下载文档才能查看,
2上的切点,过Q且垂直于QO2的直线与过R且垂直于RO1的直线交于点I,IN垂直于O1O2,垂足为N,IN与QR交于点M。证明:PM,RO1,QO2三条直线交于一点。
内容需要下载文档才能查看
证 如图,设RO1与QO2交于点O,
连MO,PO。
因为∠O1QM=∠O1NM=90°,所以Q,共圆,有∠QMI=∠QO1O2。
而∠IQO2=90°=∠RQO1, 所以∠IQM=∠O2QO1, 故△QIM∽△QO2O1,得
QO1O1O2
QMMI
I
Q
内容需要下载文档才能查看1N
2
O1,N,M四点
同理可证
RO2O1O2
。因此 RMMI
QMQO1
①
MRRO2
因为QO1∥RO2,所以有
O1OQO1
②
ORRO2
由①,②得MO∥QO1。 又由于O1P=O1Q,PO2=RO2, 所以
O1OO1QO1P
,
ORRO2PO2
即OP∥RO2。从而MO∥QO1∥RO2∥OP,故M,O,P三点共线,所以PM,RO1,QO2三条直线相交于同一点。
3. 塞瓦定理、梅涅劳斯定理及其应用
定理1 (塞瓦(Ceva)定理):
设P,Q,R分别是△ABC的BC,CA,AB边上的点。若AP,BQ,CR相交于一点M,则
BPCQAR
1。 PCQARB
C
证 如图,由三角形面积的性质,有
ARS AMCBPS AMBCQS BMC
, , .
RBS BMCPCS AMCQAS AMB
以上三式相乘,得
BPCQAR
1. PCQARB
定理2 (定理1的逆定理):
设P,Q,R分别是△ABC的BC,CA,AB上的点。若则AP,BQ,CR交于一点。
证 如图,设AP与BQ交于M,连CM,交AB于R’。
由定理1有
BPCQAR'BPCQAR
1. 而 1,所以 PCQAR'BPCQARB
BPCQAR
1,PCQARB
AR'AR
. R'BRB
于是R’与R重合,故AP,BQ,CR交于一点。
定理3 (梅涅劳斯(Menelaus)定理):
一条不经过△ABC任一顶点的直线和三角形三边BC,CA,AB(或它们的延长线)分别交于P,Q,R,则
BPCQAR
1 PCQARB
证 如图,由三角形面积的性质,有
B
ARS ARPBPS BRPCQS CRP
, , .
RBS BRPPCS CPRQAS ARP
将以上三式相乘,得
BPCQAR
1. PCQARB
定理4 (定理3的逆定理):
设P,Q,R分别是△ABC的三边BC,CA,AB或它们延长线上的3点。若
BPCQAR
1, PCQARB
则P,Q,R三点共线。
定理4与定理2的证明方法类似。
塞瓦定理和梅涅劳斯定理在证明三线共点和三点共线以及与之有关的题目中有着广泛的应用。
例8 如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E,
BE与AC相交于F,延长DF交BC于G。求证:∠GAC=∠EAC。 证 如图,连接BD交AC于H,
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE
A的延长线于J。
对△BCD用塞瓦定理,可得
DCGBHDE
1 ① GBHDECB
下载文档
热门试卷
- 2016年四川省内江市中考化学试卷
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 山东省滨州市三校2017届第一学期阶段测试初三英语试题
- 四川省成都七中2017届高三一诊模拟考试文科综合试卷
- 2017届普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(附答案)
- 重庆市永川中学高2017级上期12月月考语文试题
- 江西宜春三中2017届高三第一学期第二次月考文科综合试题
- 内蒙古赤峰二中2017届高三上学期第三次月考英语试题
- 2017年六年级(上)数学期末考试卷
- 2017人教版小学英语三年级上期末笔试题
- 江苏省常州西藏民族中学2016-2017学年九年级思想品德第一学期第二次阶段测试试卷
- 重庆市九龙坡区七校2016-2017学年上期八年级素质测查(二)语文学科试题卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016年12月八年级语文阶段性测试卷
- 江苏省无锡市钱桥中学2016-2017学年七年级英语12月阶段检测试卷
- 山东省邹城市第八中学2016-2017学年八年级12月物理第4章试题(无答案)
- 【人教版】河北省2015-2016学年度九年级上期末语文试题卷(附答案)
- 四川省简阳市阳安中学2016年12月高二月考英语试卷
- 四川省成都龙泉中学高三上学期2016年12月月考试题文科综合能力测试
- 安徽省滁州中学2016—2017学年度第一学期12月月考高三英语试卷
- 山东省武城县第二中学2016.12高一年级上学期第二次月考历史试题(必修一第四、五单元)
- 福建省四地六校联考2016-2017学年上学期第三次月考高三化学试卷
- 甘肃省武威第二十三中学2016—2017学年度八年级第一学期12月月考生物试卷
网友关注
- 2012 -- 2013学年第二学期 重修试题
- 教学与活动安全制度
- 新课程背景下小学英语课堂教学有效性研究
- 王彩新教育,新气象 Microsoft Word 文档 (2)
- 浅谈钢琴伴奏在小学音乐中的运用
- 政府试卷
- 郭慧芳
- 1年级活动计划
- 教学语言
- 物体的浮沉条件及其教学反思
- 桃园小学绩效工资分配方案
- 14-15学年20总课表
- 学期安排
- 计算机word文件
- 新疆中小学生家长教育平台(高级)学习笔记11
- 初中教学计划音乐
- 一年级下期班主任总结
- 认证管理人员考试模拟题
- 三年级英语下册教学计划
- (新课标)2013高中地理素质教育教学论文 地理素质教育课堂教学构思
- 初探家校合作的有效途径
- 九年级数学上学期教学计划
- 电大本科土木工程《建设监理》试题及答案4
- 恰格拉克乡中心小学五一节安全检查总结
- 小班艺术学科计划
- 比如教育信息第32期 交流学习 提升教学技能 李敦老师进行教师培训
- 英语教师对学生的课堂评价语言
- 二年级二(3)班班队工作计划
- 南京学校教师学期教学工作考核材料目录(2014-2015-1学期)
- 初中化学实验教学计划
网友关注视频
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 12
- 第五单元 民族艺术的瑰宝_15. 多姿多彩的民族服饰_第二课时(市一等奖)(岭南版六年级上册)_T129830
- 【部编】人教版语文七年级下册《逢入京使》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 19 爱护鸟类_第一课时(二等奖)(桂美版二年级下册)_T3763925
- 外研版英语七年级下册module3 unit2第二课时
- 小学英语单词
- 人教版二年级下册数学
- 3.2 数学二年级下册第二单元 表内除法(一)整理和复习 李菲菲
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit9
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,辽宁省
- 【部编】人教版语文七年级下册《老山界》优质课教学视频+PPT课件+教案,安徽省
- 沪教版八年级下册数学练习册一次函数复习题B组(P11)
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 四年级下册 Unit 12
- 【部编】人教版语文七年级下册《泊秦淮》优质课教学视频+PPT课件+教案,天津市
- 8.对剪花样_第一课时(二等奖)(冀美版二年级上册)_T515402
- 第4章 幂函数、指数函数和对数函数(下)_六 指数方程和对数方程_4.7 简单的指数方程_第一课时(沪教版高一下册)_T1566237
- 苏科版数学 八年级下册 第八章第二节 可能性的大小
- 冀教版小学数学二年级下册第二周第2课时《我们的测量》宝丰街小学庞志荣.mp4
- 外研版英语三起6年级下册(14版)Module3 Unit1
- 青岛版教材五年级下册第四单元(走进军营——方向与位置)用数对确定位置(一等奖)
- 8 随形想象_第一课时(二等奖)(沪教版二年级上册)_T3786594
- 冀教版小学数学二年级下册第二单元《有余数除法的竖式计算》
- 外研版英语三起5年级下册(14版)Module3 Unit2
- 北师大版数学四年级下册3.4包装
- 七年级下册外研版英语M8U2reading
- 每天日常投篮练习第一天森哥打卡上脚 Nike PG 2 如何调整运球跳投手感?
- 七年级英语下册 上海牛津版 Unit5
- 沪教版八年级下册数学练习册21.3(2)分式方程P15
- 沪教版牛津小学英语(深圳用) 五年级下册 Unit 7
- 沪教版八年级下册数学练习册21.3(3)分式方程P17
精品推荐
- 2016-2017学年高一语文人教版必修一+模块学业水平检测试题(含答案)
- 广西钦州市高新区2017届高三11月月考政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高一上学期期中考试政治试卷
- 浙江省湖州市2016-2017学年高二上学期期中考试政治试卷
- 辽宁省铁岭市协作体2017届高三上学期第三次联考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2017届高三11月月考政治试卷
- 广西钦州市钦州港区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高二11月月考政治试卷
- 广西钦州市高新区2016-2017学年高一11月月考政治试卷
分类导航
- 互联网
- 电脑基础知识
- 计算机软件及应用
- 计算机硬件及网络
- 计算机应用/办公自动化
- .NET
- 数据结构与算法
- Java
- SEO
- C/C++资料
- linux/Unix相关
- 手机开发
- UML理论/建模
- 并行计算/云计算
- 嵌入式开发
- windows相关
- 软件工程
- 管理信息系统
- 开发文档
- 图形图像
- 网络与通信
- 网络信息安全
- 电子支付
- Labview
- matlab
- 网络资源
- Python
- Delphi/Perl
- 评测
- Flash/Flex
- CSS/Script
- 计算机原理
- PHP资料
- 数据挖掘与模式识别
- Web服务
- 数据库
- Visual Basic
- 电子商务
- 服务器
- 搜索引擎优化
- 存储
- 架构
- 行业软件
- 人工智能
- 计算机辅助设计
- 多媒体
- 软件测试
- 计算机硬件与维护
- 网站策划/UE
- 网页设计/UI
- 网吧管理