高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——托勒密定理

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上传时间：2015-04-15
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高中数学竞赛平面几何的几个重要定理——托勒密定理

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托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积

之和)．

即：定理：在四边形ABCD中，有：AB?CD?AD?BC?AC?BD

并且当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立；

证：在四边形ABCD内取点E，使?BAE??CAD，?ABE??ACD

ABBE则：?ABE和?ACD相似???AB?CD?AC?BEACCDABAE又?且?BAC??EAD??ABC和?AED相似ACAD

BCED???AD?BC?AC?EDACAD

?AB?CD?AD?BC?AC?(BE?ED)

?AB?CD?AD?BC?AC?BD且等号当且仅当E在BD上时成立，即当且仅当A、B、C、一、直接应用托勒密定理

例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．

分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为

繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，

∵AB=BC=AC． ∴PA=PB+PC．

二、完善图形借助托勒密定理

例2 证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．

由托勒密定理，有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ①

又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②

把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．

例3 如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，

求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．

证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．

∵∠1=∠2，∴ BD=CD．

故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．

三、构造图形借助托勒密定理

例4 若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．

证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，

使AC＝a，

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BC=b

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，

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BD＝x，AD＝y．

由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．

据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．

∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．

四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理

例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．

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分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．

证明：如图，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=BC，ACD?BDC∴∠ABD=∠BAC．

又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

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依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ①

而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2． ②

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∴∠BAC=2∠ABC．

五、巧变形妙引线借肋托勒密定理

例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联

系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．

如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．

在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，

有AC·BD＋BC·AD=AB·CD

易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，

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1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。

【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。

则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。

2.由?ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN，22

BCACAB??PKPLPM

证：连接PA、

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PB、PC，对于四边形ABPC利用托勒密定理有：

BC?AP?AC?BP?AB?CP

BCACAB?AP?PK??BP?PL??CP?PMPKPLPM

由?KBP??LAP可知Rt?KBP和Rt?LAP相似

PKPB???AP?PK?BP?PLPLPA

同理可得：BP?PL?CP?PM

BCACAB?由?AP?PK??BP?PL??CP?PM可得：PKPLPM

BCACAB??PKPLPM

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