2015年浙江省数学竞赛试题及答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案

一、选择题（本大题共有8小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题6分，共48分）

x2y2

1．“a =2，

b 是“曲线C：2 2 1(a,b R,ab

0)经过点

ab

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A.

”的( A )．

x2y2

解答：当a =2，

b C：2 2

1经过

ab

点

x2y2

；当曲线C：2 2 1经过

ab

时，即有

21

2

1，显然a 2,b “a =2，

b 2

ab

x2y2

是“曲线C：2 2

1经过点

ab

”的充分不必要条件。

2．已知一个角大于120º的三角形的三边长分别为m,m 1,m 2，则实数m的取值范围为( B )．

A． m 1 B． 1 m 答案：B.

解答：由题意可知：

33

C． m 3 D．m 3 22

A1

1

m (m 1) m 23

1 m 解得。 222

2 (m 2) m (m 1) m(m 1)

3． 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BB1的中点， 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C )．

第3题图

1

B． C．

D

2答案：C.

A．

解答：以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

1

D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),M(1,1,)，且平面ACD1的法向量为

2

，即二面角3

cos n1,n2 n1 (1,1,1)，平面MCD1法向量为n2 (

1,2,2)。因此

M-CD1-A

。 a b 2 0

a 2b

4．若实数a,b满足 b a 1 0，则的最大值为 ( C )．

2a b a 1

A． 1 B． 答案：C.

解答：由a,b满足的条件知1

57

C． D． 2 45

a 2bb

3，所以 2 a2a b

32 a

713

，当(a,b) (,)取等

225

号。

5． 已知等腰直角△PQR的三个顶点分别在等腰直角△ABC的三条边上，记△PQR，△ABC的面积分别为S△PQR，S△ABC，则

S PQRS ABC

的最小值为( D )．

1111

B． C． D． 2345参考答案：D.

解答：如图5-1所示，

A． A

P H

B 图5-1 图5-2

（1）当 PQR的直角顶点在 ABC的斜边上，则P,C,Q,R四点共圆，

APR CQR1 80

用正弦定理得

B所以Q,Rsin APR sin BQR.在 APR, BQR中分别应

PRARQRBR

, .又 A B 45,故PR QR,故sinAsinAPRsinBsinBQR

AR BR即R为AB的中点.

过R作RH AC于H，则PR RH

S PQR1

BC,所以2S ABC

1

(BC)2

PR1 ,此BC2BC24

2

时

S PQRS ABC

的最大值为

1

. 4

（2）当 PQR的直角顶点在 ABC的直角边上，如图5-2所示，设

BC 1,C R(x 0 x 1),B R Q ( 0

CRx

, sin sin

2

) 90 PRC BRQ . ,则 CPR

在Rt CPR中，PR

x3

, RQB QRB B , sin 4x

PQRB1 x

由正弦定理,

sinBsin PQBsinsin( )44

x111x2112

) ()2. ，因此S PQR PR (sin cos 2sin 22sin 2cos 2sin

在 BRQ中，BR 1 x,RQ PR S PQRS ABC

(

111

)2 ，当且仅当 arctan2取222

cos 2sin (1 2)(cos sin )5

的最小值为.

等号，此时

S PQRS ABC

1

5

6. 已知数列 an 的通项an

nx

(x 1)(2x 1)

(nx 1)

，n N，若

*

a1 a2

A．

a2015 1，则实数x等于（ D )．

35911 B． C． D． 2406012

答案：D.

an

(nx 1) 111

(x 1)(2x 1)(nx 1)(x 1)(2x 1)[(n 1)x 1](x 1)(2x 1)

(nx 1)

2015

则

ak 1

k 1

1

1 (x 1)(2x 1)

(x 1)(2x 1)(2015x 1)

(

(2015x 1) 0，所以

111

x ( 1, ) ( , )

23411111

, ) ( , )，经检验只有x 20132014201560

符合题意。

7． 若过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能等于 ( C )． ．．．

261961636

B． C． D．

553175

答案：C.

A．

解答：不妨设四条直线交成的正方形在第一象限，且边长为a，面积为S,过P的直线的倾斜角为 (0 当过点

2

)。

P,Q的直线为正方形的对边所在的直线时

，

PQsin a RScos sin 4cos sin S (PQsin )2

16。 17

，此时正方形的面积同理，当过点P,R的直线为正方形的对边所在的直线时，S 方形的对边所在的直线时，S

36

；当过点P,S的直线为正5

196

. 53

8．若集合A (m,n)(m 1) (m 2)

(m n) 102015,m Z,n N* ，则集合A

中的元素个数为( B )．

A．4030 B．4032 C． 20152 D． 20162 答案：B.

解答：由已知得n(n 2m 1) 2

20162015

5，因为n,n 2m 1一奇一偶，所以n,n 2m 1两

者之一为偶数，即为22016,220165,2201652,,2201652015共有2016种情况，交换顺序又得到

2016种情形，所以集合A共有4032个元素.

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，9-14每题7分，15题8分，共50分）

9．已知函数f(x)满足f(x 1) f(1 x) 0，f(x 2) f(2 x) 0，且f() 1，则

23

1000f()

3

答案： 1.

解答：f(x 2) f(2 x) f[1 (x 1)] f[1，所以 x( 1) fx() fx( 4) fx(

100044112f() f(332 ) f() f(1 ) f(1 ) f() 1.

333333

10．若数列{an}的前n项和Sn

n n，n N，则

3

2

*

2015i 1

1

．

ai 8i 2

答案：

2015

. 6048

2*2

a a 3n 5n 2,又，故a 3n 5n 2(n N), a 0 i i1ni 1

i 1

n

n 1

解答：an

2015

20152015111201511

. ( ) 3i 1ii 16048i 1ai 8i 2i 13i(i 1)

11． 已知F为抛物线y 5x的焦点，点A (3，1)， M是抛物线上的动点．当|MA| |MF|取最小值时，点M的坐标为 ． 答案：(

2

1

,1). 5

解答：设抛物线的准线为l:x

5

.过M作l的垂线，垂足为H,则

4

AM MF AM MH AH,当A,M,H三点共线时取等号，此时M的坐标为

1

(,1)。 5

12．若16答案：

sin2x

16cosx 10，则cos4x 2

1. 2

sin2x

cosx

161 sinx ,1 t 16，则16

2

2

解答:设t 16

1616

10 t 2,或，代入方程得t tt

t 8，即

113

sinx 或，所以cos4x 。

442

2

}，其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者．若13. 设函数f(x) min{x 1,x 1, x 1

f(a 2) f(a)，则实数a的取值范围为

答案：( , 2) ( 1,0).

2