高中数学竞赛讲座 09圆
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高中数学竞赛讲座 09圆
竞赛讲座09
-圆
基础知识
如果没有圆,平面几何将黯然失色.
圆是一种特殊的几何图形,应当掌握圆的基本性质,垂线定理,直线与圆的位置关系,和圆有关的角,切线长定理,圆幂定理,圆和圆的位置关系,多边形与圆的位置关系.
圆的几何问题不是独立的,它与直线形结合起来,将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题,“三角形的心”,“几何著名的几何定理”,“共圆、共线、共点”,“直线形” 将构成圆的综合问题的基础.
本部分着重研究下面几个问题:
1.角的相等及其和、差、倍、分;
2.线段的相等及其和、差、倍、分;
3.二直线的平行、垂直;
4.线段的比例式或等积式;
5.直线与圆相切;
6.竞赛数学中几何命题的等价性.
命题分析
例1.已知A为平面上两个半径不等的⊙O1和⊙O2的一个交点,两圆的外公切线分别为P1P2,Q1Q2,M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点,求证:?O1AO2??M1AM2.
例2.证明:唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形. 例3.延长AB至D,以AD为直径作半圆,圆心为H,G是半圆上一点,?ABG为锐角.E在线段BH上,Z在半圆上,EZ∥BG,且EH?ED?EZ,BT∥HZ.求证:?TBG?21?ABG. 3
例4.求证:若一个圆外切四边形有两条对边相等,则圆心到另外两边的距离相等. 例5.设?A是△ABC中最小的内角,点B和C将这个三角形的外接圆分成两段弧,U是落在不含A的那段弧上且不等于B与C的一个点,线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W,直线BV和CW相交于T.证明:AU?TB?TC.
例6.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E,F,G,H,在EF与GH上分别作⊙O切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q,求证:MQ∥NP.
例7.⊙O1和⊙O2与△ABC的三边所在直线都相切,E,F,G,H为切点,并且⌒⌒EG,FH的延长线交于点P.求证:直线PA与BC垂直.
例8.在圆中,两条弦AB,CD相交于E点,M为弦AB上严格在E、B之间的点.过
D,E,M的圆在E点的切线分别交直线BC、AC于F,G.已知AMCE?t,求(用t表ABEF
示).
例9.设点D和E是△ABC的边BC上的两点,使得?BAD??CAE.又设M和N
1111???. MBMDNCNE
例10.设△ABC满足?A?90?,?B??C,过A作△ABC外接圆W的切线,交直线BC于D,设A关于直线BC的对称点为E,由A到BE所作垂线的垂足为X,AX的中点为Y,BY交W于Z点,证明直线BD为△ADZ外接圆的切线. 分别是△ABD、△ACE的内切圆与BC的切点.求证:
例11.两个圆?1和?2被包含在圆?内,且分别现圆?相切于两个不同的点M和N.?1经过?2的圆心.经过?1和?2的两个交点的直线与?相交于点A和B,直线MA和直线MB分别与?1相交于点C和D.求证:CD与?2相切.
例12.已知两个半径不相等的⊙O1和⊙O2相交于M、N两点,且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点.求证:OM?MN的充要条件是S、N、T三点共线.
例13.在凸四边形ABCD中,AB与CD不平行,⊙O1过A、B且与边CD相切于点P,⊙O2过C、D且与边AB相切于点Q.⊙O1和⊙O2相交于E、F,求证:EF平分线段PQ的充要条件是BC∥AD.
例14.设凸四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直,且两对边AB与CD不平行.点P为线段AB与CD的垂直平分线的交点,且在四边形的内部.求证:A、B、C、D四点共圆的充要条件为S?PAB?S?PCD.
训练题
1.△ABC内接于⊙O,?BAC?90?,过B、C两点⊙O的切线交于P,M为BC的中点,求证:(1)AM?cos?BAC;(2)?BAM??PAC. AP
⌒⌒⌒CA,AB的中点,2.已知A?,B?,C?分别是△ABC外接圆上不包含A,B,C的弧BC,
BC分别和C?A?、A?B?相交于M、N两点,CA分别和A?B?、B?C?相交于P、Q两点,AB分别和B?C?、C?A?相交于R、S两点.求证:MN?PQ?RS的充要条件是△ABC为等边三角形.
3.以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、CA分别 交于点D和E,过D、E作BC的垂线,垂足分别为F、G.线段DG、EF交于点M.求证:AM?BC.
4.在△ABC中,已知?B内的旁切圆与CA相切于D,?C内的旁切圆与AB相切于E,过DE和BC的中点M和N作一直线,求证:直线MN平分△ABC的周长,且与?A的平分线平行.
5.在△ABC中,已知,过该三角形的内心I作直线平行于AC交AB于F.在BC边上取点P使得3BP?BC.求证:?BFP?1?B. 2
6.半圆圆心为O,直径为AB,一直线交半圆于C,D,交AB于M(MB?MA,MC?MD).设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外之另一交点.求证:?MKO为直角 .
7.已知,AD是锐角△ABC的角平分线,?BAC??,?ADC??,且
2co?s?cos?.求证:AD2?BD?DC.
8.M为△ABC的边AB上任一点,r1,r2,r分别为△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径;?1,?2,?分别为这三个三角形的旁切圆半径(在?ACB内部). 求证:r1
?1?2?r2?r?.
9.设D是△ABC的边BC上的一个内点,AD交△ABC外接圆于X,P、Q是X分别到AB和AC的垂足,O是直径为XD的圆.证明:PQ与⊙O相切当且仅当AB?AC.
10.若AB是圆的弦,M是AB的中点,过M任意作弦CD和EF,连CD,DE分别交AB于X,Y,则MX?MY.
11.设H为△ABC的垂心,P为该三角形外接圆上的一点,E是高BH的垂足,并设PAQB与PARC都是平行四边形,AQ与BR交于X.证明:EX∥AP.
12.在△ABC中,?C的平分线分别交AB及三角形的外接圆于D和K,I是内切圆圆心.证明:(1)
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