(文最后有详解)中高二物理竞赛专题：2.振动与波

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振动与波

说明： 本专题高考不考，但它是竞赛范围。上本专题前请同学们先预习选修3

－4课本的第11、12两章。

一、知识网络与概要

1.机械振动

(1)弹簧振子,简谐运动,简谐运动的振幅、周期和频率,简谐运动的位移—时间图象.

(2)单摆,在小振幅条件下单摆做简谐运动,周期公式.(3)振动中的能量转化.

(4)自由振动和受迫振动,受迫振动的振动频率,共振及其常见的应用.

2.机械波

(1)振动在介质中的传播——波,横波和纵波,横波的图象,波长、频率和波速的关系.

(2)波的叠加,波的干涉、衍射现象. (3)声波、超声波及其应用. (4)多普勒效应.

二、巩固：夯实基础

1.机械振动的意义：

物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的往复运动，叫机械振动.

回复力：使偏离平衡位置的振动物体回到平衡位置的力，叫回复力.回复力总是指向平衡位置，

它是根据作用效果命名的，类似于向心力.振动物体所受的回复力可能是物体所受的合外力，也可能是物体所受的某一个力的分力.

2.描述振动的物理量

(1)位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.

(2)振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量.表示振动的强弱.

(3)周期T和频率f：物体完成一次全振动所需的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数.它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系：T=1. f当Ｔ和f是由振动系统本身的性质决定时(非受迫振动)，则叫做固有周期和固有频率.

3.简谐运动：物体在跟位移大小成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动.

(1)受力特征：回复力F=-kx.

(2)运动特征：加速度a=-kx/m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置.简谐运动是一种变加速运动.在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大. 判断一个振动是否为简谐运动，依据就是看它是否满足上述受力特征或运动特征.

(3)振动能量：对于两种典型的简谐运动——单摆和弹簧振子，其振动能量与振幅有关，振幅

越大，能量越大.简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒.

（4）物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期T.物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为1T. 2

4.单摆：（1）周期公式：T=2πl g

其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值.

（2）单摆的等时性：在振幅很小的条件下，单摆的振动周期跟振幅无关（单摆的振动周期跟

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振子的质量也没有关系）.

（3）单摆的应用：

A.计时器.（摆钟是靠调整摆长而改变周期，使摆钟与标准时间同步）

4 2lB.测重力加速度：g=. 2T

5.简谐运动的位移—时间图象

如图所示为一弹簧振子做简谐运动的图象.它反映了振子的位移随时间变化的规律，而其轨迹并非正弦曲线.

6.受迫振动：物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期或频率等于驱

动力的周期或频率，而与物体的固有周期或频率无关.

7.共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大,当二者相

等时，振幅达到最大，这就是共振现象.

8、机械波的产生：的条件有两个：一是要有作为波源的机械振动，二是要有能够传播机械振动的弹性介质。有机械波必有机械振动，有机械振动不一定有机械波. 但是，已经形成的波跟波源无关，在波源停止振动时仍会继续传播，直到机械能耗尽后停止.

9、横波和纵波：质点的振动方向与波的传播方向垂直的叫横波.凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷.质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的叫纵波.质点分布密的叫密部，分布疏的叫疏部.

10、描述机械波的物理量

(1)波长λ：两个相邻的、在振动过程中对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长.

(2)频率f：波的频率由波源决定，在任何介质中频率不变.

(3)波速v：单位时间内振动向外传播的距离.

波速与波长和频率的关系：v=λf. 波的频率由波源决定,波速大小由介质决定.

11、机械波的特点：(1)每一质点都以它的平衡位置为中心做简谐运动；后一质点的振动总是

落后于带动它的前一质点的振动.(2)波传播的只是运动形式(振动)和振动能量，介质中的质点并不随波迁移.

12、声波：一切振动着发声的物体叫声源.声源的振动在介质中形成纵波.频率为20 Hz到20 000

Hz 的声波能引起听觉.频率低于20 Hz的声波为次声波，声波具有反射、干涉、衍射等波的特有现象.

13、如图所示为一横波的图象.它反映了在波传播的过程中，某一时

刻介质中各质点的位移在空间的分布.简谐波的图象为正弦(或余弦)

曲线。根据机械波的传播规律，利用该图象可以得出以下的判定：

(1)介质中质点的振幅A、波长λ以及该时刻各质点的位移和加速度的方向.

(2)根据波的传播方向确定该时刻各质点的振动方向,画出在Δt前或后的波形图象.

(3)根据某一质点的振动方向确定波的传播方向.

14、波的叠加：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰.只是在

重叠的区域里，任一质点的总位移等于各列波分别引起的位移的矢量和.

15、衍射：波绕过障碍物继续传播的现象.产生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比

波长小或与波长相差不多.

16、干涉：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，使某些区域的振动减弱，并且

振动加强和振动减弱的区域相互间隔的现象.产生稳定的干涉现象的必要条件：两

列波的频率相同.

干涉和衍射是波所特有的现象.波同时还可以发生反射，如回声

.

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17、多普勒效应：由于波源和观察者之间的相对运动，使观察者感到频率发生变化的现象，

叫做多普勒效应.

当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小.多普勒效应是所有波动过程共有的特征.根据声波的多普勒效应可以测定车辆行驶的速度；根据光波的多普勒效应可以判断遥远天体相对地球的运行速度.

三、重点热点透析

1、 单摆的周期的使用：T=2πl是实验中总结出来的.单摆的回复力 g

是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速度(gsinθ)越大.由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力.在有些振动系统中l不一定是绳长，g也不一定为9.8 m/s2，因此出现了等效摆长和等效重力加速度的问题.

(1)等效摆长：在图中，三根等长的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球直径为d,l2、

l3与天花板的夹角α＜30°.若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧

的圆心在O1处，故等效摆长为l=l1+d. 2

若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在O处，故等效摆长为

l=l1+l2sinα+d. 2

(2)等效重力加速度：公式中的g由单摆所在的空间位置决定.

由g=GM可知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，应(R h)2

求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.

2、简谐运动的位移—时间图象

简谐运动的位移—时间图象为图，利用该图象可以得出以下的判定：

(1)振幅A、周期T以及各时刻振子的位置.

(2)各时刻回复力、加速度、速度、位移的方向.

(3)某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、

势能的变化情况.

(4)某段时间内振子的路程.

3、振动图象和波的图象

振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象.简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但

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4、波的图象的应用

(1)确定各质点的振动方向

如图所示(实线)为一沿x轴正方向传播的横波，试确定质点A、B、C、D的速度方向. 判断方法：将波形沿波的传播方向做微小移动(如图中虚线),

由于质点仅在y轴方向上振动，所以A′、B′、C′、D′即

为质点运动后的位置，故该时刻A、B沿y轴正方向运动，C、

D沿y轴负方向运动.

可看出：波形相同方向的“斜坡”上,速度方向相同.

(2)确定波的传播方向

知道波的传播方向,利用“微平移”的办法可以很简单地判断出

各质点的振动方向.反过来知道某一质点的运动方向，也可利用

此法确定该波的传播方向.

另外还有一简便实用的判断方法，同学们也可以记住.如图所示，

若已知A点速度方向向上，则可假想在最靠近它的波谷内有一

小球.不难看出：A向上运动时，小球将向右滚动，此即该波的传播方向.

(3)已知波速v和波形，画出再经Δt时间的波形图

①平移法：先算出经Δt时间波传播的距离Δx=v·Δt，再把波形沿波的传播方向平移Δx即可.因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移ｎλ时波形不变，当Δx=nλ+x时，可采取去整留零的方法，只需平移x即可.

②特殊点法：(若知周期T则更简单)在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰(

谷

)

点，先确定这两点的振动方向，再看Δt=nT+t.由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别作出两特殊点经t后的位置，然后按正弦规律画出新波形.

(4)已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移

求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵 扯质点的初始状态，用正弦函数较复杂，但Δt若为半周期的整数倍则很容易.在半周期内质点的路程为2A.

（5）应用Δx=v·Δt时注意

①波动的重复性和波传播的双向性. ②多解性.

5、干涉图样

两列波在空间相遇发生干涉，其稳定的干涉图样如图所示.其中a点是

两列波的波峰相遇点,为加强的点，b点为波峰和波谷的相遇点,是减弱

的点.加强的点只是振幅大了，并非任一时刻的位移都大；减弱的点只

是振幅小了，也并非任一时刻的位移都小.

若两波源的振动步调一致，某点到两波源的距离之差为波长的整数倍，则该点为加强点；某点到两波源的距离之差为半波长的奇数倍，则该点为减弱点.

【例1】 如图所示为一单摆及其振动图象，由图回答：

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(1)单摆的振幅为_____，频率为_____，摆长为_____；一周期内位移x(F回、a、Ep)最大的时刻为_____.

(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的__________点.一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是__________,势能增加且速度为正的时间范围是__________.

(3)单摆摆球多次通过同一位置时，下列物理量变化的是（ ）

A.位移 B.速度 C.加速度 D.动量 E.动能 F.摆线张力

(4)在悬点正下方O′处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且O'E=1OE,则单摆周期为4________s.比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力.

(5)若单摆摆球在最大位移处摆线断了,此后摆球做什么运动?若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动?