全国高中数学联赛模拟试题9

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全国高中数学联赛模拟试题9

全国高中数学联赛模拟试题（九）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、已知n、s是整数．若不论n是什么整数，方程x2 8nx+7s=0没有整数解，

则所有这样的数s的集合是（A）奇数集（B）所有形如6k+1的数集（C）偶数集（D）所有形如4k+3的数集

2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每

相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是

（A）16966 （B）16975 （C）16984 （D）17009 3、非常数数列{ai}满足ai2 1 aiai 1 ai2 0，且ai 1 ai 1，i=0,1,2,…,n．对

于给定的自然数n，a1=an+1=1，则 ai等于

i 0n 1

（A）2 （B） 1

（C）1 （D）0

24、已知、是方程ax+bx+c=0（a、b、c为实数）的两根，且是虚数，

是实数，则的值是

k 1

5985

（A）1 （B）2

（C）0

（D）i

1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b ，则A

5、已知a+b+c=abc，A

的值是（A）3

（B） 3

（C）4 （D） 4

6、对xi∈{1,2,…,n}，i=1,2,…,n，有 xi

i 1

n n 1 ，x1x2…xn=n！，使x1,x2,…,xn，

一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n是（A）4 （B）6 （C）8

（D）9

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、设点P是凸多边形A1A2…An内一点，点P到直线A1A2的距离为h1，到直线A2A3的距离为h2，…，到直线An-1An的距离为hn-1，到直线AnA1的

距离为hn．若存在点P使

aa1a2

n（ai=AiAi+1，i=1,2,…,n 1，h1h2hn

an=AnA1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件．

2、已知a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，

它有两个小于1的不同正根．那么，a的最小值是．

a2 2asin 2

3、已知F a, 2，a、 ∈R，a≠0．那么，对于任意的a、

a 2acos 2

，F(a, )的最大值和最小值分别是

4、已知t＞0，关于x的方程为x t x2 2，则这个方程有相异实根的个数情况是．

5、已知集合{1,2,3,…,3n 1,3n}，可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z}，其

中x+y=3z，则满足上述要求的两个最小的正整数n是． 6、任给一个自然数k，一定存在整数n，使得xn+x+1被xk+x+1整除，则这

样的有序实数对(n,k)是（对于给定的k）

三、（20分）

过正方体的某条对角线的截面面积为S，试求

S最大S最小

之值．

四、（20分）

数列{an}定义如下：a1=3，an=3an 1（n≥2）．试求an（n≥2）的末位数．

五、（20分）

已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1．

证明：≤a2+b2+c2+4abc＜1．

第二试

一、（50分）

已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为

K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．

二、（50分）

M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，

1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．

三、（50分）

实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式

是否有三个不同的实根，说明理由．

参考答案

第一试

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二、填空题： 1、该凸多边形存在内切圆； 3、2 ，2 ； 5、5，8；

三、

．

四、7．

五、证略．

一、证略；

二、证略．

三、有．

2、5； 4、9；

6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．

第二试

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