全国高中数学联赛模拟试题9
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全国高中数学联赛模拟试题9
全国高中数学联赛模拟试题(九)
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
1、已知n、s是整数.若不论n是什么整数,方程x2 8nx+7s=0没有整数解,
则所有这样的数s的集合是 (A)奇数集 (B)所有形如6k+1的数集 (C)偶数集 (D)所有形如4k+3的数集
2、某个货场有1997辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装9箱货物,每
相邻的4辆车装货总数为34箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是
(A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3、非常数数列{ai}满足ai2 1 aiai 1 ai2 0,且ai 1 ai 1,i=0,1,2,…,n.对
于给定的自然数n,a1=an+1=1,则 ai等于
i 0n 1
(A)2 (B) 1
2
(C)1 (D)0
24、已知 、 是方程ax+bx+c=0(a、b、c为实数)的两根,且 是虚数,
是实数,则 的值是
k 1
5985
k
(A)1 (B)2
2
(C)0
2
2
(D)i
2
2
2
1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b ,则A
5、已知a+b+c=abc,A
bc
ac
ab
的值是 (A)3
(B) 3
n
(C)4 (D) 4
6、对xi∈{1,2,…,n},i=1,2,…,n,有 xi
i 1
n n 1 ,x1x2…xn=n!,使x1,x2,…,xn,
2
一定是1,2,…,n的一个排列的最大数n是 (A)4 (B)6 (C)8
(D)9
二、填空题:(每小题9分,共54分)
1、设点P是凸多边形A1A2…An内一点,点P到直线A1A2的距离为h1,到直线A2A3的距离为h2,…,到直线An-1An的距离为hn-1,到直线AnA1的
距离为hn.若存在点P使
aa1a2
n(ai=AiAi+1,i=1,2,…,n 1,h1h2hn
an=AnA1)取得最小值,则此凸多边形一定符合条件 .
2、已知a为自然数,存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式,
它有两个小于1的不同正根.那么,a的最小值是 .
a2 2asin 2
3、已知F a, 2,a、 ∈R,a≠0.那么,对于任意的a、
a 2acos 2
,F(a, )的最大值和最小值分别是
4、已知t>0,关于x的方程为x t x2 2,则这个方程有相异实根的个数情况是 .
5、已知集合{1,2,3,…,3n 1,3n},可以分为n个互不相交的三元组{x,y,z},其
中x+y=3z,则满足上述要求的两个最小的正整数n是 . 6、任给一个自然数k,一定存在整数n,使得xn+x+1被xk+x+1整除,则这
样的有序实数对(n,k)是(对于给定的k)
三、(20分)
过正方体的某条对角线的截面面积为S,试求
S最大S最小
之值.
四、(20分)
数列{an}定义如下:a1=3,an=3an 1(n≥2).试求an(n≥2)的末位数.
五、(20分)
已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.
13
证明:≤a2+b2+c2+4abc<1.
27
第二试
一、(50分)
已知△ABC中,内心为I,外接圆为⊙O,点B关于⊙O的对径点为
K,在AB的延长线上取点N,CB的延长线上取M,使得MC=NA=s,s为△ABC的半周长.证明:IK⊥MN.
二、(50分)
M是平面上所有点(x,y)的集合,其中x、y均是整数,且1≤x≤12,
1≤y≤13.证明:不少于49个点的M的每一个子集,必包含一个矩形的4个顶点,且此矩形的边平行于坐标轴.
三、(50分)
实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b<0,ab=9c.试判别此多项式
是否有三个不同的实根,说明理由.
参考答案
第一试
内容需要下载文档才能查看二、填空题: 1、该凸多边形存在内切圆; 3、2 ,2 ; 5、5,8;
三、
23
3
.
四、7.
五、证略.
一、证略;
二、证略.
三、 有.
2、5; 4、9;
6、(k,k)或(3m+2,2)(m∈N+).
第二试
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