全国高中数学联赛模拟试题7
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全国高中数学联赛模拟试题7
全国高中数学联赛模拟试题(七)
第一试
一、选择题:(每小题6分,共36分)
1、a、b是异面直线,直线c与a所成的角等于c与b所成的角,则这样的
直线c有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数条
2、已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x) g(x)=x2+2x+3,
则f(x)+g(x)=
(A) x2+2x 3 (B)x2+2x 3 (C) x2 2x+3 (D)x2 2x+3
2 3、已知△ABC,O为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则使3
AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)
成立的m的最大值是
(A)2 5(B) 3 (C) (D)3 2
4、设x=0.820.5,y=sin1,z=log37则x、y、z的大小关系是
(A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x
101995 5、整数 95 的末尾两位数字是
10 3
(A)10 (B)01 (C)00 (D)20
6、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为
(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)可能大于2
二、填空题:(每小题9分,共54分)
1、若f(x)=x10+2x9 2x8 2x7+x6+3x2+6x+1,则f(2
2、设F1、F2是双曲线x2 y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1
引∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是 .
3、给定数列{xn},x1=1,且xn 1 xn 1
3 xn,则x1999 x601.
4、 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,E是CD中点,F是BB1中点,则
四面体AD1EF的体积是
y x 15、在坐标平面上,由条件 所限定的平面区域的面积是 . y 2x 3
6、12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同
的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要 周.
三、(20分) x2y2
已知椭圆2 2 1过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=xab
的交点为B、C.现有以A为焦点,过B、C且开口向左的抛物线,抛物
2线的顶点坐标M(m,0).当椭圆的离心率e满足 e2 1,求实数m的3
取值范围.
四、(20分)
a、b、c均为实数,a≠b,b≠c,c≠a. 证明:
a b 2c b c 2a c a 2b3≤<2. 2a b b c c a
五、(20分)
已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a、b、c、d均大于0; (ii)对于任一个x∈{ 2, 1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数x,f(x)是否为整数.
第二试
一、(50分)
设K为△ABC的内心,点C1、B1分别为边AB、AC的中点,直线AC与C1K交于点B2,直线AB于B1K交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB.
二、(50分)
55
求证:f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积. 设w cos isin ,f(x)=(x w)(x w3)(x w7)(x w9).
三、(50分)
在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过120°的弧的条数的最小值.
参考答案
第一试
内容需要下载文档才能查看二、填空题:
1、4; 3、0; 5、16;
三、 3 2
1,4 .
四、证略.
五、是.
一、60°;
二、证略.
三、100.
2、x2+y2=4; 4、524; 6、5. 第二试
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