全国高中数学联赛模拟试题7

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全国高中数学联赛模拟试题7

全国高中数学联赛模拟试题（七）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、a、b是异面直线，直线c与a所成的角等于c与b所成的角，则这样的

直线c有

（A）1条（B）2条（C）3条（D）无数条

2、已知f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x)=x2+2x+3，

则f(x)+g(x)=

（A） x2+2x 3 （B）x2+2x 3 （C） x2 2x+3 （D）x2 2x+3

2 3、已知△ABC，O为△ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=，则使3

AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

（A）2 5（B） 3 （C）（D）3 2

4、设x=0.820.5，y=sin1，z=log37则x、y、z的大小关系是

（A）x＜y＜z （B）y＜z＜x （C）z＜x＜y （D）z＜y＜x

101995 5、整数 95 的末尾两位数字是

10 3

（A）10 （B）01 （C）00 （D）20

6、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数．设(a,b)=1，则(a2+b2,a3+b3)为

（A）1 （B）2 （C）1或2 （D）可能大于2

二、填空题：（每小题9分，共54分）

1、若f(x)=x10+2x9 2x8 2x7+x6+3x2+6x+1，则f(2

2、设F1、F2是双曲线x2 y2=4的两个焦点，P是双曲线上任意一点，从F1

引∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹方程是．

3、给定数列{xn}，x1=1，且xn 1 xn 1

3 xn，则x1999 x601．

4、正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，E是CD中点，F是BB1中点，则

四面体AD1EF的体积是

y x 15、在坐标平面上，由条件所限定的平面区域的面积是． y 2x 3

6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同

的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要周．

三、（20分） x2y2

已知椭圆2 2 1过定点A(1,0)，且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=xab

的交点为B、C．现有以A为焦点，过B、C且开口向左的抛物线，抛物

2线的顶点坐标M(m,0)．当椭圆的离心率e满足 e2 1，求实数m的3

取值范围．

四、（20分）

a、b、c均为实数，a≠b，b≠c，c≠a．证明：

a b 2c b c 2a c a 2b3≤＜2． 2a b b c c a

五、（20分）

已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx，满足（i）a、b、c、d均大于0；（ii）对于任一个x∈{ 2, 1,0,1,2}，f(x)为整数；（iii）f(1)=1,f(5)=70．试说明，对于每个整数x，f(x)是否为整数．

第二试

一、（50分）

设K为△ABC的内心，点C1、B1分别为边AB、AC的中点，直线AC与C1K交于点B2，直线AB于B1K交于点C2．若△AB2C2于△ABC的面积相等，试求∠CAB．

二、（50分）

求证：f(x)为一整系数多项式，且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．设w cos isin ，f(x)=(x w)(x w3)(x w7)(x w9)．

三、（50分）

在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．

参考答案

第一试

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二、填空题：

1、4； 3、0； 5、16；

三、 3 2

1,4 ．

四、证略．

五、是．

一、60°；

二、证略．

三、100．

2、x2+y2=4； 4、524； 6、5．第二试

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