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全国高中数学联赛模拟试题7

上传者:刘明明
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上传时间:2015-04-15
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全国高中数学联赛模拟试题7

全国高中数学联赛模拟试题(七)

第一试

一、选择题:(每小题6分,共36分)

1、a、b是异面直线,直线c与a所成的角等于c与b所成的角,则这样的

直线c有

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)无数条

2、已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x) g(x)=x2+2x+3,

则f(x)+g(x)=

(A) x2+2x 3 (B)x2+2x 3 (C) x2 2x+3 (D)x2 2x+3

2 3、已知△ABC,O为△ABC内一点,∠AOB=∠BOC=∠COA=,则使3

AB+BC+CA≥m(AO+BO+CO)

成立的m的最大值是

(A)2 5(B) 3 (C) (D)3 2

4、设x=0.820.5,y=sin1,z=log37则x、y、z的大小关系是

(A)x<y<z (B)y<z<x (C)z<x<y (D)z<y<x

101995 5、整数 95 的末尾两位数字是

10 3

(A)10 (B)01 (C)00 (D)20

6、设(a,b)表示两自然数a、b的最大公约数.设(a,b)=1,则(a2+b2,a3+b3)为

(A)1 (B)2 (C)1或2 (D)可能大于2

二、填空题:(每小题9分,共54分)

1、若f(x)=x10+2x9 2x8 2x7+x6+3x2+6x+1,则f(2

2、设F1、F2是双曲线x2 y2=4的两个焦点,P是双曲线上任意一点,从F1

引∠F1PF2平分线的垂线,垂足为M,则点M的轨迹方程是 .

3、给定数列{xn},x1=1,且xn 1 xn 1

3 xn,则x1999 x601.

4、 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,E是CD中点,F是BB1中点,则

四面体AD1EF的体积是

y x 15、在坐标平面上,由条件 所限定的平面区域的面积是 . y 2x 3

6、12个朋友每周聚餐一次,每周他们分成三组,每组4人,不同组坐不同

的桌子.若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子,则至少需要 周.

三、(20分) x2y2

已知椭圆2 2 1过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭圆与曲线|y|=xab

的交点为B、C.现有以A为焦点,过B、C且开口向左的抛物线,抛物

2线的顶点坐标M(m,0).当椭圆的离心率e满足 e2 1,求实数m的3

取值范围.

四、(20分)

a、b、c均为实数,a≠b,b≠c,c≠a. 证明:

a b 2c b c 2a c a 2b3≤<2. 2a b b c c a

五、(20分)

已知f(x)=ax4+bx3+cx2+dx,满足 (i)a、b、c、d均大于0; (ii)对于任一个x∈{ 2, 1,0,1,2},f(x)为整数; (iii)f(1)=1,f(5)=70. 试说明,对于每个整数x,f(x)是否为整数.

第二试

一、(50分)

设K为△ABC的内心,点C1、B1分别为边AB、AC的中点,直线AC与C1K交于点B2,直线AB于B1K交于点C2.若△AB2C2于△ABC的面积相等,试求∠CAB.

二、(50分)

55

求证:f(x)为一整系数多项式,且f(x)不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积. 设w cos isin ,f(x)=(x w)(x w3)(x w7)(x w9).

三、(50分)

在圆上有21个点.求在以这些点为端点组成的所有的弧中,不超过120°的弧的条数的最小值.

参考答案

第一试

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二、填空题:

1、4; 3、0; 5、16;

三、 3 2

1,4 .

四、证略.

五、是.

一、60°;

二、证略.

三、100.

2、x2+y2=4; 4、524; 6、5. 第二试

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