全国高中数学联赛模拟试题6

上传者：方亦凯
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上传时间：2015-04-15
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全国高中数学联赛模拟试题6

全国高中数学联赛模拟试题（六）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，

z1 z2的实部为零，argz1=，则z2=

（A）

33 i 223 i 22

（B）

33 i 2233 i 22

（C）（D）

2、已知函数f x loga ax2 x 在[1,2]上恒正，则实数a的取值范围是

（A） ,

3 （B） ,

2 1 （D） ,

15 3

（C） , ,

28 2

3、已知双曲线过点M( 2,4)，N(4,4)，它的一个焦点为F1(1,0)，则另一个焦点F2的轨迹方程是

x 1 y 4 （A）

2516

1（y≠0）或x=1（y≠0）

22 x 1 y 4 （B）

1625

1（x≠0）或x=1（y≠0）

22 x 4 y 1 （C）

2516

1（y≠0）或y=1（x≠0）

22 x 4 y 1 （D）

1625

1（x≠0）或y=1（x≠0）

4、已知正实数a、b满足a+b=1，则M a2 2b的整数部分是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5、一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一

角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是

（A）9米（B）10米（C）12米（D）15米

6、一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n＞1），则客

运车票增加了58种（注：从甲站到乙站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（A）12 （B）13 （C）14 （D）15

二、填空题：（每小题6分，共36分）

1、长方形ABCD的长AB是宽BC的2倍，把它折成无底的正三棱柱，使AD与BC重合折痕线EF、GH分别交原对角线AC于M、N，则折后截

面AMN与底面AFH所成的角是．

2、在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，且满足a2+b2=2c2，则角C

的最大值是．

3、从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1

升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是

4、已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意x≥0，规定

f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}．若f(x)=3 x，g(x)=2x 5，则f(x)*g(x)的最大值为．

5、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，

则可有不同的取法． 6、若实数a＞0，则满足a5 a3+a=2的a值属于区间：①0,3；②

③

2,3；

3, ；④ 0,2 ．其中正确的是．

三、（20分）

求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面

的面积

四、（20分）

直线Ax+Bx+C=0（A·B·C≠0）与椭圆b2x2+a2y2=a2b2相交于P、Q

a2b2a2 b2

两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ．求证：2 2． 2

CA B

五、（20分）

某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名

售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1，每1万元营业额所得利润如表2．商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为c（万元）且满足19≤c≤19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？

表

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第二试

一、（50分）

矩形ABCD的边AD= ·AB，以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P，连PC、PD交AB于E、F，若AE2+BF2=AB2，试求正实数的值．

二、（50分）

若ai∈R（i=1,2,…,n），S ai，且2≤n∈N．

i 1n

ak1n2

求证： ≥ak． n 1k 1k 1S ak

三、（50分）

无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1 |1 2cn||，而0≤c1≤1．（1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？