全国高中数学联赛模拟试题3

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全国高中数学联赛模拟试题3

全国高中数学联赛模拟试题（三）

第一试

一、选择题：（每小题6分，共36分）

1、若集合S＝{n|n是整数，且22n＋2整除2003n＋2004}，则S为

（A）空集（B）单元集（C）二元集（D）无穷集 2、若多项式x2－x＋1能除尽另一个多项式x3＋x2＋ax＋b（a、b皆为常数）．则

a＋b等于（A）0 （B）－1 （C）1 （D）2

3、设a是整数，关于x的方程x2＋(a－3)x＋a2＝0的两个实根为x1、x2，且

tan(arctan x1＋arctan x2)也是整数．则这样的a的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4

4、设一个四面体的体积为V1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其

体积为V2．则（A）

1 2

为 V1

（B）

2 3

和 23

（D）不确定，其值与四面体的具体形状有关

5、在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其

余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A）1001 （B）1010 （C）1011 （D）1013

6、在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点

组的个数是（A）36 （B）37 （C）48 （D）49

（C）常数，但不等于

二、填空题：（每小题9分，共54分）

11、若直线xcos ＋ysin ＝cos2 －sin2 （0＜＜）与圆x2＋y2＝有公共点，

则的取值范围是．

2、在平面直角坐标系xOy中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x轴相切．则

此圆的半径等于． 3、若常数a使得关于x的方程

lg(x2＋20x)－lg(8x－6a－3)＝0

有惟一解．则a的取值范围是．

4、f(x)＝＋xcosx＋cos(2x)(x∈R)的最小值是．

5、若k是一个正整数，且2k整除

212ii40062003

C04006 C40063 C40063 C40063

则k的最大值为．

6、设ABCD为凸四边形，AB＝7，BC＝4，CD＝5，DA＝6，其面积S的取

值范围是(a,b] ．则a＋b＝．

三、（20分）

设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，左准线为l，点P在椭圆上．作PQ⊥

l，Q为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P，使得PQF1F2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e的等式或不等式来表示）．

四、（20分）

设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．

五、（20分）

试求出所有的有序整数对(a,b)，使得关于x的方程x4＋(2b－a2)x2－2ax＋b2－1＝0的各个根均是整数．

第二试

一、（50分）

点P在△ABC内，且∠BAP＝∠CAP，连结BP并延长交AC于点Q．设∠BAC＝60°，且

111

．

BPPCPQ

求证：P是△ABC的内心．

二、（50分）

设正数a、b满足a

且使得关于x的不等式

x 1≥ax 1 b

总有实数解．试求f(a,b)＝a2－3ab＋b2的取值范围．

三、（50分）

试求出正整数k的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k个整

数a1,a2,…,a（允许相等），必定存在相应的k的整数x1,x2,…,x（也允许相等），kk

且|xi|≤2(i＝1,2,…,k)，|x1|＋|x2|＋…＋|xk|≠0，使得2003整除x1a1＋x2a2＋…＋xkak．

参考答案

第一试

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二、填空题：

2 5 1、 , , ；

63 36 1631 3、 , ；

2 6

2、15 6；

4、－1； 6、2210．

5、2004；

三、e ,1 ．

四、a2n＝2n+2－2n－3；a2n+1＝3×2 n+1－2n－4．

五、(a,b)＝(2l―1,l2―l―1)( l∈Z)

第二试

一、证略（提示：将条件变形为

PCPAPC

1 ，然后应用正弦定理，进行三角PAPBPQ

变换，得∠BPC＝120°，利用同一法即证）；

二、(－∞，－1)．

三、kmin＝7．

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