07-10全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

（2010年4月18日 8：00-10：00）

一、填空

1、 方程9x+|1－3x|=5的解为．

提示与答案：x＜0无解; 当x≥0时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32． 2、 函数y=|sinx|+|cosx|的单调减区间是提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调区间相同，[

kπkππ,+],k∈Z． 224

→→→→→

3、 在△ABC中，已知AB·AC=4，AB·BC=－12，则|AB|= .

→→→→→2→

提示与答案：AB·AC－AB·BC=|AB|=16，得|AB|=4．

4、 函数f(x)=(x－2) (x+1)2在区间[0,2]上的最大值是 ，最小值是 ．

提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0． 5、 在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其

中A(4，0)、B(6，8)、C(2，4)，则R的取值范围为 ．

5

提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[10]． 6、 设函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x－1)都是关于x的奇函数，在区间［0,100］上

函数y=f(x)至少有n个零点，则n= .

提示与答案：f(2k-1)=0，k

∈Z。所以至少有50个零点.

7、 从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条

线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为 ． 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．

8、 圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2

银的概率是 ．

1

提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 9、 在三棱锥A－BCD中，已知∠ACB＝∠CBD，∠ACD＝∠ADC＝∠BCD＝∠BDC＝θ，

10

且cosθ10144，则棱AB的长为 ．

提示与答案：4面为全等的等腰三角形，设棱AB的长为x，由体积列式求解，x=6． ax10、在复数范围内，设数列{xn}满足xn≠a－1，0，且xn+1x+1n∈N*都有xn+3 = xn，

n

则a的值是 ．

axaxa2xa3x提示与答案：由xn+1x+1xn+3x+1(a+1)x+1(a+a+1)x+1 xn恒成立，即

nn+2n+1n1(a2+ a+1)xn(x+1－a)=0，因为xn≠a－1或0，则a2+a+1=0，所以a = ． 二、解答题

→3→4→x22

11、已知椭圆C4y＝1上三点A、B、M，O为坐标原点．若OM5OA5OB，证明：

x2

线段AB2y2＝1上．

x2x22

解：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则y1＝1，y22＝1． →3→4→3434

由OMOA＋OB得M(1＋21＋2)． 因为M是椭圆C上一点，所以

345152)2

342

( …………………5分 12)＝1，554x234xxx24232

即4y1)(5＋4y2252+2(554y1y2)=1， 3434xx 得 52＋(52554y1y2)＝1，

xx 4y1y2＝0． …………………15分 x1＋x2y1＋y2

又 线段AB的中点的坐标为22，

x1＋x2(22

y1＋y221x22xx21x 所以 ＝yy1)+2)+2424224y1y2＝1，

x1＋x2y1＋y2x2

从而推知线段AB的中点(2222y2＝1上． …………………20分 12、已知各项为整数的数列{an}满足a3=－1，a7=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依

次成等比数列．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 求出所有的正整数m，使得am+am+1+am+2=amam+1am+2．

解：(1) 设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数. 又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，

即 9d2－14d+5=0，得d =1. …………………4分 当n≤6时，an =n－4，

由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n≥5时，an =2n-5.

n－4，n≤4，

故 an = n-5

2， n≥5．

…………………8分

(2) 观察数列：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…

当m=1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m=3时等式成立，即－1+0+1=0；

当m=2、4时等式不成立； …………………14分 当m≥5时，amam+1am+2 =23m-12， am +am+1+am+2=2m-5(2－1)=7×2m-5，

3

7×2m-5≠23m-12，

所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2，与题设不符. 故所求 m= 1，或m=3． …………………20分

13、如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BE⊥AD，垂足H，过点H作

平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G． 证明：(1) 点 A、B、F、H共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．

证明：(1)由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC， 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC， ∴ ∠BAF=∠BHF， ∴

点

A

、

B

、

F

、

H

共

A

D

E

圆； …………………8分 (2) 由(1)的结论，得 ∠BHA=∠BFA， ∵ BE⊥AD， ∴ BF⊥AC，

又AD是圆的直径，∴ CG⊥AC， …………………14分 由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，

∴∠BFG =∠DAB =∠BCG， ∴ B、G、C、F共圆. ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC，

∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分 14、求所有正整数x，y，使得x2+3y与y2+3x都是完全平方数．

解：若x=y，则x2+3x是完全平方数. ∵ x2＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2，

∴ x=y =1. …………………5分 ∴ x2+3x= (x+1)2，

若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y是完全平方数，

∴ x2+3y= (x+1)2，得3y = 2x+1，由此可知y是奇数，设y = 2k+1，则x=3k+1，k是正整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且 (2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16= (2k+4)2， ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，

得 k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分 若x＜y，同x＞y情形可求得 x=11，y=16.

综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

（2009年5月3日 8：00-10：00）

一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）

1．已知sinαcosβ=1，则cos(α+β)=．0．提示：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤π

1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，∴ α＝2kπ＋2β＝ππ

2lπ或α＝2kπ－2β＝2lπ＋π α＋β＝2(k＋l)π2k，l∈Z)．∴ cos(α＋β)＝0． 去掉一项ak后，余下10项的算术平均值为4．若2．已知等差数列{an}的前11项的和为55，

a1= 5，则k=11．提示：设公差为d，则得55＝－5×11＋211×

10d 55d＝110 d＝2．ak＝55－4×10＝15＝－5＋2(k－1) k＝11．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率

1

e=

－1＋5

1

．提示：由(2b)2＝2c×2a a2－c2＝ac e2＋e－1＝0 e＝2

3x+1113x

4．已知x=，则实数x= ．132x－4×1 x3－13(3－1)9 13 3

3x＋3＝0 3x＝1(舍去)，3x＝

3 x＝1．

5．如图，在四面体ABCD中，P、Q分别为棱BC与CD上的点，且BP=2PC，CQ=2QD．R为棱AD的中点，则点A、

1

B到平面PQR的距离的比值为．．提示：法一，

4

A、B到平面PQR的距离分别为三棱锥APQR与BPQR的以三角形PQR为底的高．故其比1111111

值等于这两个三棱锥的体积比．VAPQR2APQD23APCD＝233ABCD＝18ABCD；1214414

又，SBPQ＝SBCD－SBDQ－SCPQ＝(1333SBCD＝9BCD，VRBPQ9RBCD＝29ABCD＝4

18ABCD．∴ A、B到平面PQR的距离的比＝1∶4．法二：可以求出平面PQR与AB的交点来求此比值：在面BCD内，延长PQ、BD交于点M，则M为面PQR与棱BD的交点．由BMDQCPDQ1CP1BM

Menelaus14．在面ABD内，作射线