高一数学竞赛培训《)立体几何部分》

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高一数学竞赛培训《)立体几何部分》

教学资料

高一上期数学竞赛培训资料（12）

——立体几何部分（4）——知识延展

一、知识要点:

1、基本方法：（1）等面积法；（2）等体积法。

2、空间角的求法：

（1）异面直线所成的角：可用平移法或用三余弦公式（cos cos 1 cos 2）；

（2）线面角：可用投影法，直接作出它的平面角，再求之；

（3）二面角的作法：定义法、垂面法、三垂线法、摄影面积法、体积法、分割与补形。

3、空间的距离的求法：（线线、线面、面面）转化为点到面的距离来求解。（等积变换）

4、直角四面体（俗称墙面四面体）的问题常转化为长方体问题求解：

（1

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）非直角三角形的面积：S a,b,c为互相垂直的三条棱长；（2）直角四面体的内切球半径：r abc； 2S表

（3

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）直角四面体的外接球半径：R

5、正四面体的常用性质：设棱长为a

（1

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11，正四面体的内切球的半径是高的，内切球半径是外接球半径的，

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43即内切球半径是

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，外接球半径是a； 124

a；（2

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（3

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（4）正四面体的相邻侧面所成的二面角的余弦值为

6、长方体的性质： 32S

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，V ；

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1。 3

（1）长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方，且长方体的外接球的直径等于长方体对角线的长；

（2）长方体的一条体对角线与一个顶点上三条棱所成的角分别为 , , ，则cos2 cos2 cos2 1；

（3）长方体的一条体对角线与一个顶点上三个面所成的角分别为 1, 2, 3，则sin2 1 sin2 2si n2。 13

7、多球相切的问题，常用的方法有：连球心，化归为多面体问题；照空间图形的主要元素较为集中的截面，化归为平面几何问题。

8、球与多面体内切与外接的问题，关键是找出过多面体与球的交（切）点和球心截面，将其化为平面问题求解。

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二、题型示例：

1、某一几何体，下图为其三视图，设S ,S ,S 分别为实际图形中所看到的面积，试比较S ,S ,S 的大小关系

是；

正视图 β 侧视图 3 俯视图

2、在正四棱锥P—ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，

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且侧面与底面所成的二面角的正切值为则异面直线DM与AN所成的角的余弦为；

3、已知异面直线a,b成60角，A为空间一点，则过点A与a,b都成45角的平面（）

（A）有且只有一个（B）有且只有两个（C）有且只有三个（D）有且只有四个

4、设ABCAB C11100是正三棱柱，底面边长和高都是1，P点是侧面ABB1A则点P到侧面ACC1A11的中心点，

的对角线的距离是；

5、在三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都为2，且E为CC1的中点，则点C1到平面AB1E的距离是；

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、由半径为

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、正四棱锥的体积为，则该正四棱锥表面面积的最小值为； 3

8、平面与球体V的表面相交于一个圆，圆上3个点构成一个等边三角形，边长为s，球心到平面的距离等于球半径的1，则球半径为； 3

9、一个棱长为1的正方体，有两个球内切于正方体，这两个球也相切，则当这两个球的半径分别为

。

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10、设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看的图形分别如下：

则该多面体的体积为；

11、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2.

（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；

（2）若∠PAB=1200，求二面角B—PD—C的正切值。

12、如图，正三棱锥V—ABC中，H为三角形VBC的垂心，且AH⊥面VBC。

（1）求证：VC⊥AB；

（2）如果二面角H—AB—C的平面角为300，求二面角V—AB—C的正切值。

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