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高一数学竞赛培训《)立体几何部分》

上传者:高彬
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上传时间:2015-04-15
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高一数学竞赛培训《)立体几何部分》

教学资料

高一上期数学竞赛培训资料(12)

——立体几何部分(4)——知识延展

一、知识要点:

1、基本方法:(1)等面积法;(2)等体积法。

2、空间角的求法:

(1)异面直线所成的角:可用平移法或用三余弦公式(cos cos 1 cos 2);

(2)线面角:可用投影法,直接作出它的平面角,再求之;

(3)二面角的作法:定义法、垂面法、三垂线法、摄影面积法、体积法、分割与补形。

3、空间的距离的求法:(线线、线面、面面)转化为点到面的距离来求解。(等积变换)

4、直角四面体(俗称墙面四面体)的问题常转化为长方体问题求解:

(1

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)非直角三角形的面积:S a,b,c为互相垂直的三条棱长; (2)直角四面体的内切球半径:r abc; 2S表

(3

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)直角四面体的外接球半径:R

5、正四面体的常用性质:设棱长为a

(1

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11,正四面体的内切球的半径是高的,内切球半径是外接球半径的,

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43即内切球半径是

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,外接球半径是a; 124

a; (2

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(3

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(4)正四面体的相邻侧面所成的二面角的余弦值为

6、长方体的性质: 32S

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,V ;

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1。 3

(1)长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方,且长方体的外接球的直径等于长方体对角线的长;

(2)长方体的一条体对角线与一个顶点上三条棱所成的角分别为 , , ,则cos2 cos2 cos2 1;

(3)长方体的一条体对角线与一个顶点上三个面所成的角分别为 1, 2, 3,则sin2 1 sin2 2si n2。 13

7、多球相切的问题,常用的方法有:连球心,化归为多面体问题;照空间图形的主要元素较为集中的截面,化归为平面几何问题。

8、球与多面体内切与外接的问题,关键是找出过多面体与球的交(切)点和球心截面,将其化为平面问题求解。

教学资料

二、题型示例:

1、某一几何体,下图为其三视图,设S ,S ,S 分别为实际图形中所看到的面积,试比较S ,S ,S 的大小关系

是 ;

α

正视图 β 侧视图 3 俯视图

2、在正四棱锥P—ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,

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且侧面与底面所成的二面角的正切值为则异面直线DM与AN所成的角的余弦为 ;

3、已知异面直线a,b成60角,A为空间一点,则过点A与a,b都成45角的平面( )

(A)有且只有一个 (B)有且只有两个 (C)有且只有三个 (D)有且只有四个

4、设ABCAB C11100是正三棱柱,底面边长和高都是1,P点是侧面ABB1A则点P到侧面ACC1A11的中心点,

的对角线的距离是 ;

5、在三棱柱ABC A1B1C1中,底面边长和侧棱长都为2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离是 ;

6

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、由半径为

7

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、正四棱锥的体积为,则该正四棱锥表面面积的最小值为 ; 3

8、平面 与球体V的表面相交于一个圆,圆上3个点构成一个等边三角形,边长为s,球心到平面 的距离等于球半径的1,则球半径为 ; 3

9、一个棱长为1的正方体,有两个球内切于正方体,这两个球也相切,则当这两个球的半径分别为

教学资料

10、设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看的图形分别如下:

则该多面体的体积为 ;

11、如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=1,BC=2.

(1)求证:平面PBC⊥平面PDC;

(2)若∠PAB=1200,求二面角B—PD—C的正切值。

A

C

12、如图,正三棱锥V—ABC中,H为三角形VBC的垂心,且AH⊥面VBC。

(1)求证:VC⊥AB;

(2)如果二面角H—AB—C的平面角为300,求二面角V—AB—C的正切值。

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H

A

B

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