高一数学竞赛培训《)立体几何部分》
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高一数学竞赛培训《)立体几何部分》
教学资料
高一上期数学竞赛培训资料(12)
——立体几何部分(4)——知识延展
一、知识要点:
1、基本方法:(1)等面积法;(2)等体积法。
2、空间角的求法:
(1)异面直线所成的角:可用平移法或用三余弦公式(cos cos 1 cos 2);
(2)线面角:可用投影法,直接作出它的平面角,再求之;
(3)二面角的作法:定义法、垂面法、三垂线法、摄影面积法、体积法、分割与补形。
3、空间的距离的求法:(线线、线面、面面)转化为点到面的距离来求解。(等积变换)
4、直角四面体(俗称墙面四面体)的问题常转化为长方体问题求解:
(1
内容需要下载文档才能查看)非直角三角形的面积:S a,b,c为互相垂直的三条棱长; (2)直角四面体的内切球半径:r abc; 2S表
(3
内容需要下载文档才能查看)直角四面体的外接球半径:R
5、正四面体的常用性质:设棱长为a
(1
内容需要下载文档才能查看11,正四面体的内切球的半径是高的,内切球半径是外接球半径的,
内容需要下载文档才能查看43即内切球半径是
内容需要下载文档才能查看,外接球半径是a; 124
a; (2
内容需要下载文档才能查看(3
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看(4)正四面体的相邻侧面所成的二面角的余弦值为
6、长方体的性质: 32S
内容需要下载文档才能查看,V ;
内容需要下载文档才能查看1。 3
(1)长方体的一条体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方,且长方体的外接球的直径等于长方体对角线的长;
(2)长方体的一条体对角线与一个顶点上三条棱所成的角分别为 , , ,则cos2 cos2 cos2 1;
(3)长方体的一条体对角线与一个顶点上三个面所成的角分别为 1, 2, 3,则sin2 1 sin2 2si n2。 13
7、多球相切的问题,常用的方法有:连球心,化归为多面体问题;照空间图形的主要元素较为集中的截面,化归为平面几何问题。
8、球与多面体内切与外接的问题,关键是找出过多面体与球的交(切)点和球心截面,将其化为平面问题求解。
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二、题型示例:
1、某一几何体,下图为其三视图,设S ,S ,S 分别为实际图形中所看到的面积,试比较S ,S ,S 的大小关系
是 ;
α
正视图 β 侧视图 3 俯视图
2、在正四棱锥P—ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,
内容需要下载文档才能查看且侧面与底面所成的二面角的正切值为则异面直线DM与AN所成的角的余弦为 ;
3、已知异面直线a,b成60角,A为空间一点,则过点A与a,b都成45角的平面( )
(A)有且只有一个 (B)有且只有两个 (C)有且只有三个 (D)有且只有四个
4、设ABCAB C11100是正三棱柱,底面边长和高都是1,P点是侧面ABB1A则点P到侧面ACC1A11的中心点,
的对角线的距离是 ;
5、在三棱柱ABC A1B1C1中,底面边长和侧棱长都为2,且E为CC1的中点,则点C1到平面AB1E的距离是 ;
6
内容需要下载文档才能查看、由半径为
7
内容需要下载文档才能查看、正四棱锥的体积为,则该正四棱锥表面面积的最小值为 ; 3
8、平面 与球体V的表面相交于一个圆,圆上3个点构成一个等边三角形,边长为s,球心到平面 的距离等于球半径的1,则球半径为 ; 3
9、一个棱长为1的正方体,有两个球内切于正方体,这两个球也相切,则当这两个球的半径分别为
。
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10、设一个多面体从前面、后面、左面、右面、上面看的图形分别如下:
则该多面体的体积为 ;
11、如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,侧面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=1,BC=2.
(1)求证:平面PBC⊥平面PDC;
(2)若∠PAB=1200,求二面角B—PD—C的正切值。
A
C
12、如图,正三棱锥V—ABC中,H为三角形VBC的垂心,且AH⊥面VBC。
(1)求证:VC⊥AB;
(2)如果二面角H—AB—C的平面角为300,求二面角V—AB—C的正切值。
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看H
A
B
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