2014年全国初中数学竞赛试题

2014年全国初中数学竞赛试题

一．单项选择题（5×7分=35分）

1.对正整数n，记n！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．

A．0 B．1 C．3 D．5

【分析】n?5时，n！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C．

?2x?5?x??5??32.已知关于x的不等式组?x?3恰好有5个整数解，则t的取值范围是( )． ??t?x??2

A.?6?t??11111111 B.?6?t?? C.?6?t?? D.?6?t?? 2222

?2x?5?x??5??3?3?2t?x?20，则5个整数解是x?19,18,17,16,15．

【分析】??x?3?t?x??2

注意到x?15时，只有4个整数解．所以14?3?2t?15??6?t??11

2，本题选C

3.已知关于x的方程x?x?2?a?2x恰好有一个实根，则实数a的值有( )

x?2xx2?2x

个．

A．1 B．2 C．3 D．4

xx?2a?2x??2?a?2x2?2x?4，下面先考虑增根： 【分析】x?2xx?2x

ⅰ）令x?0，则a?4，当a?4时，2x2?2x?0,x1?1,x2?0（舍）； ⅱ）令x?2，则a?8，当a?8时，2x2?2x?4?0,x1??1,x2?2（舍）； 再考虑等根：

ⅲ）对2x2?2x?4?a?0，??4?8(4?a)?0?a?

71故a?4,8,，x?1,?1,共3个.本题选C． 22717，当a?,x1,2?. 222

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4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )．

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】设?ABC底边BC上的高为h，则

h?48481212???BC4CFCFDE，

111?DE?h1??DE?h2??DE?(h1?h2)222 S?ADE?S?BDE?

本题选D．?1112?DE?h??DE??622DE

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )．

1257A. B. C. D. 491836

11C4?C2?1?182【分析】P??? 本题选B． 2C9369

二．填空题（5×7'=35'）

（b?2)3的值为． 6.设a?，b是a2的小数部分，则

【分析】考虑到a?3，则a2?32?9，2?8??27?3,b??2,b?2?9 则（b?2)3?()3?9

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ．

【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有12?6，而总次数是6?6?6次，则其概率为P?12?6?1. 6?6?63

8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为．

11【分析】先消去c，再配方估算．6a2?a?b2?16b?2?6(a?)2?(b?8)2?66? 1224

观察易知上式中a?3，故a?1,2,3，经试算，a?1,2时，b均不是整数；当a?3时，b?5,11，于是有(a,b,c)?(3,5,13),(3,11,61)，故abcmax?3?11?61?2013．

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9.实数a、b、c、d满足：一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为 ．

【分析】由根与系数关系知a?b?c?c?d?a?0?b?d,ab?d,cd?b，然后可得 （a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)

本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔．

,x?y?350 【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x?7y?2013

4x?7y?2013?4x?2012?8y?y?1?x?503?2y?y?1

4 令y?1?k?y?4k?1，则x?503?2(4k?1)?k?505?7k，又x?y?350，即4

1?N505?7k?4k?1?350?k?51?k???k?52，3

y?4k?1?4?52?1?207

即他至少卖了207支圆珠笔．

三．解答题（4×20'=80'）

11．如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为E，该抛物线与

x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=OC=3O

1A．直线y??x?1与y轴交于点D，求∠DBC-∠CBE． 3

【分析】易知y?x2?2x?3?(x?1)2?4，

A(?1,0),B(3,0)，C(0,?3)，D(1,?4)，作EF⊥CO于F，连

CE，易知△OBC、△CEF都是等腰直角三角形，则△CB

E是直角三角形．分别在Rt△OBD、Rt△BCE中运用正切定义，即有tan??OD1CE21?，tan????，则OB3BC323

???从而可得∠DBC-∠CBE=45º．

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12．如图，已知AB为圆O的直径，C为圆周上一点，

D为线段OB内一点(不是端点)，满足CD⊥AB，DE⊥

CO，E为垂足，若CE=10，且AD与DB的长均为正整

数，求线段AD的长．

【分析】设圆O半径为r，则由相似或三角函数或射影

定理可知，DE2?CE?OE?DE2?10(r?10)，又

CD2?CE2?DE2?102?10(r?10)?10r

由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC、BC用相似或三角函数，易知 AD?BD?CD2?10r①，而AD?BD?2r②

令AD?x,BD?y，①/②即

0?xy10ryy??5???1，显然有0?y?x，则x?y2rx5yy?1，即0??1?1?5?y?10，y为正整数，故y?6,7,8,9，又x也为正整数，x5

经逐一试算，仅当y?6,x?30这一组是正整数，故AD?30.

13．设a、b、c是素数，记x?b?c?a,y?c?a?b,z?a?b?c，当z2?y,x?y?2时，a、b、c能否构成三角形的三边长？证明你的结论．

?y?c?a?b?1??8az2?y【分析】? ?y?z?2a?????z2?z?2a?0?z?2?z?a?b?c

a、b、c是素数，则a?b?c?z为整数，则?8a?2k?1，k为正整数．化简整理后，有

?k?1,k?1?2a?1?1?2?a?1(非质数）k(k?1)?2a?? k?2,k?1?a?2?1?3?

?1??8aa?3????z??3,2 2z?

ⅰ)z?3,y?9,x?9?2?x?25,x?z?2b?b?11,

b?17,a?b?3?17?20?17?c不能围成三角形;

ⅱ)z?2,y?4,x?16,b?9是合数

综上所述，以a、b、c不能围成三角形．

14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，．．．，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，．．．，an中都至少有一个为m的“魔术数”．

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，．．．，an互不相等，不妨设a1?a2?...?an，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设ai?7ki?t，

（i?1,2,3,...,n;t?0,1,2,3,4,5,6），至少有一个为m的“魔术数”．因为ai?10k?m（k是m的位数)，是7的倍数，当i?6时，而ai?10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i?7时，而ai?10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i?7时，依抽屉原理，ai?10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai?10k?m被7整除，即n=7．