竞赛讲座第一讲 向量

第一讲----平面向量

一、基础知识

定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数 0，使得a= b.f

定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为 ，则a, b的数量积记作a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，

3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=

x1x2 y1y2x y x y

21

21

22

22

(a, b 0),

4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.

定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数λ，使P1P PP2，

OP1 OP2

。由此可得若

1

x1 x2x x x1y y1 1 P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 . .

x xy y22 y y1 y2

1

λ叫P分P1P2所成的比，若O为平面内任意一点，则

定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=h2 k2个单位得到图形F'，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到F'上对应的点为p'(x',y')，则

x' x h

称为平移公式。

y' y k

2

2

2

2

定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.

【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2=(x1 y1)(x2 y2)-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

所以|a|·|b|≥|a·b|.

由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.

注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，

22222

同样有|a·b|≤|a|·|b|，化简即为柯西不等式：(x1 x2 xn)(y12 y2 yn)

(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，

2）对于任意n个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、方法与例题

1．向量定义和运算法则的运用。

例1 设O是正n边形A1A2…An的中心，求证：OA1 OA2 OAn O.

例2 给定△ABC，求证：G是△ABC重心的充要条件是 .

例3 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：2

AB+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。

．证利用定理2证明共线。

例4 △ABC外心为O，垂心为H，重心为G。求证：O，G，H为共线，且OG：GH=1：2。

3．利用数量积证明垂直。

例5 给定非零向量a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是a b.

例6 已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，D为AB中点，E为△ACD重心。求证：OE CD。

4．向量的坐标运算。

例7 已知四边形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF=AE。

基础训练： 1. 在直角坐标系xoy中，已知三点A(a,1),B(2,b),C(3,4)，若向量OA,OB在OC上 的投影相同，则3a 4b

2. 设a,b是非零向量，且a 2，a 2b 2，则a b b的最大值是3 已知 ABC的外接圆圆心P满足AP

2

AB AC，则cos BAC 5

4. 在△ABC中，AB=BC=2，CA=3.设△ABC的内心为O，求满足AO=pAB+qAC的实数p、q的值.

5 P是 ABC所在平面内的一点，满足PA PB PC BC，则

S ABP

S ABC

6. 已知O是 ABC内一点，且4AO 3AB 2BC CA，则

S ABC

S OBC

7 O是 ABC内一点，且AO

11S

AB AC，则 OAB 34S OBC

2

),OA a b,OB

a b,若△OAB 是以 O 为直 3

角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于 （ ）

1．(集训试题)已知 a (cos ,sinA．1

B．1

C．2

D．3

2．（全国）设 O 点在 ABC 内部，且有 OA 2OB OC ，则

2

3

的面积与

的

面积的比为 （ ） A．2 B． 3 C．3 D． 5 2 3 3．（陕西赛区预赛）如图 1，设 P 为△ABC 内一点，且

2 1 AC ， 5 5 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为( A ) A． 1 B． 2 C． 1 D． 1 5 5 4 3

4．(浙江)已知 a ， b 是两个相互垂直的单位向量，而，

，

则对于任意实数 t1,t2 ，的最小值是 （ ） A．5 B．7 C．12 D．13

5．(全国)空间四点 A、B、C、D 满足 则

的取值 （ ） A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个 6．（南昌市）等腰直角三角形的直角顶点 A 对应的向量为 重心 G 对应的向量为

则三角形另二个顶点 B 、 C 对应的向量为___________.

7．（浙江省预赛）手表的表面在一平面上。整点 1，2，…，12 这 12 个数字等间隔地分布在

半 径 为 2 的 圆 周 上 。 从 整 点 i 到 整 点 （ i ＋ 1 ） 的 向 量 记 作

， 则 2

＝ .

8．（联赛）使关于 x 的不等式 有解的实数 k 的最大值是 ． 9.（联赛）求函数

x 的最大和最小值．

10.（联赛）过抛物线 上的一点 A(1,1) 作抛物线的切线，分别交 x 轴于 D ，交 y 轴于 B ， 点 C 在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 ；点 F 在线段 BC 上，满足 ， 且 ，线段 CD 与 EF 交于点 P ．当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程．