数论第一章--整除
高中数学竞赛讲义
数的整除性
定义 设a,b?Z,b?0,如果存在c?Z,使得a?bc成立,则称b整除a,记作ba;不然,则称b不整除a,记作b?|a.
每个非零整数a都有约数1,?1,a,?a,这4个数称为a的平凡约数,a的其他的约数称为非平凡约数.
性质 (1)ab??a?b;
(2)ab,bc?ac;
(3)bai(i?1,2,,k)?ba1x1?a2x2?; ?akxk(其中xi是任意整数)
(4)ba?bcac(其中c是任意的非零整数);
(5)ba,a?0?b?a;
(6)ba,a?b?a?0.
1.已知a,b,c,d,t?Z,且t10a?b,t10c?d.求证:tad?bc.
2.设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x,y,使得ax?by?1.求证:若an,bn,则abn. 3.已知a,b,c,d?Z,且a?cab?cd.求证:a?cad?bc.
4.证明:设a是奇数,若a2n,则an.
5.证明:设f(x)?anxn?an?1xn?1?
则df(b)?f(c).
6.已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干个数之和能被11整除的数组共有多少个?
7.已知6a?b?c,求证:6a3?b3?c3.
8.已知n为大于2的整数,求证:120n5?5n3?4n.
?a1x?a0是整系数多项式,若db?c,
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素数与合数
定义 若整数a?0,?1,并且只有约数?1,?a,则称a是素数(或质数);不然,则称a为合数.
注意:①素数也称为不可约数,它总是指正整数;②由定义知,全体整数可以分为1、素数、合数三大类.
定理 (1)任何大于1的整数a都至少有一个素约数;
(2)如果a是大于1的正整数,则a的大于1的最小约数必为素数;
(3)任何大于1的合数a
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(4)素数有无穷多个;
(5)设A?{d1,d2,,dk}是n的所有约数的集合,则B?{nn,,d1d2,n}也是dkn的所有约数的集合.
1.若n是奇数,则8n2?1.
2.以d(n)表示n的正约数的个数,例如d(1)?1,d(2)?d(3)?2,d(4)?3等等,问?d(k)是否为偶数?
k?12015
3.设a1?Z(i?1,2,,n),且a1?a2??an?0,a1a2an?n,则4n.
4.求三个素数,使得它们的积为和的5倍.
5.若n是合数,则n位数111也是合数.
n个
6.设a是自然数,问a4?3a2?9是素数还是合数?
7.设p是n的最小素约数,n?pn1,
内容需要下载文档才能查看n1?1.证明:若pn1是素数.
8.证明:存在无穷多个正整数a,使得n4?a(n?1,2,)对任意正整数n都是合数.
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带余除法
定理 若a,b是两个整数,且b?0,则存在两个整数q及r,使得a?qb?r(0?r?b)成立,且q和r是唯一的.式子中,q称为a被b除的商,r称为a被b除的余数.
1.任给的5个整数中,必有3个数之和能被3整除.
2.设a0,a1,,an?Z,f(x)?anxn??a1x?a0.已知f(0)与f(1)都不是3的倍数.证明:若方程f(x)?0有整数解,则3f(?1).
3.设3a2?b2.证明:3a,且3b.
4.证明:对于任何整数m,n,等式n2?(n?1)2?m2?2不可能成立.
5.已知n是整数.证明:3n(n?1)(2n?1).
6.证明:形如3n?1的数不可能是完全平方数.
7.已知9a2?b2?c2.则9a2?b2或9b2?c2或9c2?a2.
8.若ax0?by0是形如ax?by(x,y是任意整数,a,b是两个不全为零的整数)的数中的最小正数,则(ax0?by0)|(ax?by),其中x,y是任意整数.
高中数学竞赛讲义
最大公约数
定义 整数a1,a2,
叫做a1,a2,若整数d是它们中每一个数的因数,那么d就,ak(k?2),,ak的一个公约数.整数a1,a2,,ak的公因数中最大的一个叫做最大
公因数(或最大公约数),记作(a1,a2,
若(a1,a2,,ak). ,ak互质或互素;若诸(ai,aj)?1,即,ak)?1,就说a1,a2,
a1,a2,,ak中每两个整数都互素,就说它们两两互素.
性质 (1)(a1,a2,,ak)?(a1,a2,,ak);
(2)(a,1)?1,(a,0)?a,(a,a)?a;
(3)(a,b)?(b,a);
(4)若p是素数,a是整数,则(a,p)?1或pa;
(5)若a?pb?r,则(a,b)?(b,r).
定理 设a,b是任意两个不全为零的整数.
(1)若m是任意一个正整数,则(am,bm)?(a,b)m; (2)若?是a,b的任意一个公约数,则(
ab)?1. (a,b)a(b,)??ab(a,b).特别地,)?(
1.证明:若n?N*,则21n?4是既约分数. 14n?3
2.设a,b是整数,且9a2?ab?b2,则3(a,b).
3.证明:121?|n2?2n?12,n?Z.
4.证明:若(a,4)?(b,4)?2,则(a?b,4)?4.
5.证明:若(a,b)?1,ca?b,则(c,a)?(c,b)?1.
6.证明:从任意5个互素的三位数中,总能选出4个数是互素的.
高中数学竞赛讲义
最小公倍数
定义 整数a1,a2,,an的公共倍数称为a1,a2,,an的公倍数,a1,a2,,an的正公倍数中最小的一个叫做a1,a2,,an的最小公倍数,记作[a1,a2,,an].
性质 (1)[a,1]?a,[a,a]?a;
(2)[a,b]?[b,a];
(3)[a1,a2,,an]?[a1,a2,,an];
(4)若ab,则[a,b]?b.
定理 (1)对任意的正整数a,b,有[a,b]?ab
(a,b);
(2)设m,a,b是正整数,则[ma,mb]?m[a,b];
(3)若a1,a2,,an是n(n?2)个正整数,记[a1,a2]?m2,
[mn?2,an?1]?mn?1,[mn?1,an]?mn,则[a1,a2,,an]?mn.
1.设a,b,c是正整数,则[a,b,c]?abc
(ab,bc,ca).
2.设a,b是正整数,则[a,b](a?b)?a[b,a?b].
3.设a,b是正整数,证明:[a,b]?(a,b)?a?b.
4.证明:[a,b,c]?abc?(a,b)?(b,c)?(c,a)?1.
5.证明:设(m,a)?1,则(m,ab)?(m,b).
6.证明:若a?0,(b,c)?1,则(a,bc)?(a,b)(a,c).
m2,a3]?m3,…,[
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