清北学堂2014年暑假数学联赛模拟试题一答案
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清北学堂2014年暑假数学联赛模拟试题一答案
清北学堂2014年暑假数学联赛模拟考试一答案
（李伟固老师命制）
1.凸四边形ABCD的对角线交于P.已知DAC=30 ,BDC=50 ,CBD=15 ,BAC=75 ,求APD.
解.在BD上取E使得BE=EC.我们有BEC=150 =2BAC.这推出E为三角形ABC的外心.由此,AE=EC,CED=2DBC=30 =DAC.故A,E,C,D共圆,ADE=BDC=
50 .得到APD=100 .
2.已知对任意x,y,z≥0都有x3+y3+z3 3xyz≥c|(x y)(y z)(z x)|.求cmax.
解.不等式左端=(x+y+z)((x y)2+(y z)2+(z x)2)/2,故不妨设x≥y>z=0.原式变为x3+y3≥cxy(x y).令t=x/y,t3+1≥ct(t 1).故cmax=mint>1f(t),其中f(t)=3=0.设f在t0处达到最小值,则t40 2t0 2t0+1=0 (√√)√√√1+24121(t0+t0) 2(t0+t0) 2=0.解得t0=.cmax=f(t0)=22t3+1.f′(t)=t433.由2014个不同的正整数组成的集合M满足：M中任意两个不同的数的比不是整数.M中的数x称为好的,如果存在y,z∈M,y=z满足x2|yz.问:M中至多可能有多少个好数?
解.至多2012个好数.例:M={2k32013 k|0≤k≤2013},其中除了22013,32013外都是好数.
我们证明集合M中至少有两个非好数.显然M中的最大的数m不是好数.设c为M中的最小数,则c>1.由于m不是c的倍数,存在c的素因数p使得c的素因数分解中p的幂次大于m的分解中p的幂次.设a为M中的数,其素因数分解中p的幂次最大.设pα||a,则a=m.令b=max{x∈M:pα|x},则b=m不是好数.
4.n个不同的球放在编号分别为1～9的九个箱子中满足:1号箱中球的个数等于2,3,4,5号箱中球的个数之和.令an表示满足条件的放法数.求最小实数c使得对任意正整数n,都有an+1<can.
kkkk解.满足要求且第一个箱子放入k个球的方法数为CnCn k4k4n 2k=CnCn k4n k.
[n/2]
an=∑
k=0kkCnCn k4n k(x+2)2n1nnn)=2C2n.=cons((x++4))=cons(xxn
4,其中cons(·)表示表达式(·)中x的0次项系数.由此,an+1/an=8 cmin=
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