2014~2016福建省高一数学竞赛真题

　　2014~2016福建省高一数学竞赛

　　2016年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

　　（考试时间：5月8日上午8：30－11：00）

　　一、选择题（每小题6分，共36分）

　　x?1??1．若集合A??xx2?x?12?0?，B??x则集合C?（?0?，C??xx?A且x?B?，?1??）

　　A．??3，?1???1，4?B．??3，?1???1，4?C．??3，?1???1，4?

　　B．2D．??3，?1???1，4?C

　　D

　　2．已知直线l1：(m?2)x?3my?1?0与直线l2：(m?2)x?(m?2)y?4?0（m?0）相互垂直，垂足为P，O为坐标原点，则线段OP的长为（

　　AB?BC。则二面角A?PC?B的余弦值为（）A

　　）

　　D．1

　　3．如图，在三棱锥P?ABC中，△PAB，△PBC均为等边三角形，且A

　　．B

　　．C

　　．

　　?x2?2x?4，x?3，4．若函数f(x)??（a?0，且a?1）的值域为?3，???，则实数a的取值范围为2?logx，x?3，a?

　　（3?）A．?1，B．(1，3)C．(3，??)D．?3，???

　　5．如图，在四面体P?ABC中，已知PA、PB、PC两两互相垂直，且PA?PB?PC?3。则在该四面体表面上与点A

　　距离为A

　　B

　　．C

　　．）D

　　．6．f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?1，且对任意x?R，满足

　　f(x?2)?f(x)?2，f(x?6)?f(x)?6，则f(2016)?（）

　　A．2013B．2015C．2017D．2019

　　二、填空题（每小题6分，共36分）

　　7．已知实数x，y满足x2?y2?6x?4y?4?0，记??x2?y2?2x?4y的最大值为M，最小值为m，则M?m?。

　　5的切线PA、PB，A、B为切点。若直线PA、48．过直线y?2x上一点P作圆C：(x?3)2?(y?1)2?

　　PB关于直线y?2x对称，则线段CP的长为

　　I?ABCD的体积为。。

　　。（写出所有可能9．已知正四棱锥P?ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，I为侧面△PCD的内心，则四棱锥10．已知f(x)是偶函数，x?0时，f(x)?x??x?（符号?x?表示不超过x的最大整数），若关于x的方程f(x)?kx?k（k?0）恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围为11．方程2(x?1)(y?1)?1?xyz（x?y）的正整数解(x，y，z)为

　　的情况）

　　12．已知a?0，b?0，c?0，则b?5c8a?2c3b?c的最小值为

　　?????。

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　　三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）

　　13．已知f(x)?lnx，g(x)?x2?2ax?4a?1。

　　3?上为单调函数，求实数a的取值范围；（1）若函数f(g(x))在区间?1，

　　3?（2）若函数g(f(x))在区间?1，e??上的最小值为?2，求实数a的值。

　　14．已知f(x)?x2?(a?2)x?a（a?R）。

　　1)内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；（1）若f(x)?0在区间(?3，

　　（2）若x?1时，f(x)?0恒成立，求实数a的取值范围。

　　1)的动直线l与圆O相交于A，B两点。当直线l平行15．如图，圆O的圆心在坐标原点，过点P(0，

　　于x轴时，直线l被圆O

　　截得的线段长为（1）求圆O的方程；

　　（2）在平面直角坐标系xOy内，是否存在与点P不同的定点Q，使得

　　QA

　　?PA

　　恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

　　16．如图，O、I分别为△ABC的外心、内心，连结CI并延长交△ABC的外接圆⊙O于点H。D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且满足DB?BC?CE。

　　（1）求证：HB?HI；

　　（2）求证：△IHO∽△EBD。

　　2，，3L，2016?，求最大的正整数k，使得存在集合M的k元子集A，满足集17．已知集合M??1，

　　合A

　　中任何一个数都不等于其余任意两个不同数的积。

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　　2015年福建省高一数学竞赛

　　（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）

　　一、选择题（每小题6分，共36分）1.集合A??x

　　A．4个x?1?3，x?N?的子集有（C．16个）D．32个

　　）B．8个2．若直线l2与直线l1：y?2x?1关于直线y?x对称，则l2与两坐标轴围成的三角形的面积为（

　　A．1B．2

　　3C．1

　　2D．1

　　4

　　3．给出下列四个判断：

　　（1）若a，b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a，b都相交。

　　（2）对平面?，?和直线l，若???，l??，则l∥?。

　　（3）对平面?，?和直线l，若l??，l∥?，则???。

　　（4）对直线l1，l2和平面?，若l1∥?，l2∥l1，且l2过平面?内一点P，则l2??。其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个

　　4．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1，E为CD中点，则二面角E?AB1?B的正切值为（）A．1B

　　．4C

　　D

　　．5．已知△ABC为等腰直角三角形，CA?CB，AB?4，O为AB中点，动点P满足条件：PO

　　A

　　B．22?PA?PB，则线段CP长的最小值为（）C

　　D．4

　　）6．记a?ee，b???，c?e?，d??e，则a，b，c，d的大小关系为（

　　A．a?d?c?bB．a?c?d?bC．b?a?d?cD．b?c?d?a（必要时，可以利用函数f(x)?elnx?x在?0，e?上为增函数，在?e，???上为减函数）

　　二、填空题（每小题6分，共36分）

　　7．已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)?g(x)?2x?x2，则f(1)?

　　。

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　　8．已知直线l：x?By?1?0的倾斜角为?，若45????120?，则B的取值范围为

　　9．如图，在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC，PA?PB，PA?PC，△PBC为等边三角形，则PC与平面ABC所成角的正弦值为

　　10．函数f(x)?的最小值为。

　　。。

　　511．已知函数y?a2x?5ax?4（a?0，且a?1）在区间??1，1?上的最小值为?，4

　　则y?a2x?5ax?4在区间??1，1?上的最大值为。

　　?2x?3y?012．若实数x，y满足条件：?2，则2x?y的最小值为2?4x?9y?36

　　三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）

　　1)，B(2，?8)，且它的内切圆的方程为x2?y2?4，求点C的坐标。13．在△ABC中，已知点A(2，

　　14．已知f(x)?x2?bx?c（b，c?R，b?0），且对任意实数x，f(x)?2x?b恒成立。

　　（1）求证：c?b；（2）若当c?b时，不等式M(c2?b2)?f(c)?f(b)对满足条件的b，c恒成立，求M的最小值。

　　15．如图，AD、CF分别是△ABC的中线和高线，PB、PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点。

　　（1）求证：△AFD∽△ACP；（2）求证：DC平分?ADE。

　　?2a??2b??2c?16．已知正整数a，b，c（a?b?c）为△ABC的三边长，且?????，求a?b?c的最小

　　?15??15??15?

　　值。其中?m?表示m的小数部分，即?m??m??m?（?m?表示不超过m的最大整数）。

　　17．已知集合P??1，2，，3L，2015?。集合A是P的子集，且在A的任意三个元素中，总可以找到两个元素a和b，使得a是b的整数倍。求A的最大值。（其中A表示集合A

　　的元素的个数）.

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　　2014年福建省高一数学竞赛试题

　　（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）

　　一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合A??x

　　（）

　　A．???，1?

　　x?1?a?，B??yy?2x，x?2?，若A?B?A，则实数a的取值范围为B．(??，1)C．?0，1?4C．?D．???，3?）16?2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（A

　　．B

　　．D．

　　3

　　．函数y?x?A

　　．???B

　　．???2）C

　　．???1D

　　．??4．给出下列命题：

　　（1）设l，m是不同的直线，?是一个平面，若l??，l∥m，则m??。

　　（2）a，b是异面直线，P为空间一点，过P总能作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行。

　　（3）在正四面体ABCD中，AC与平面BCD

　　所成角的余弦值为。（4）在空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD?1，则AC

　　的取值范围是(0。其中正确的命题的个数为（

　　A．1个B．2个）C．3个D．4个

　　35．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x?R，均有f(x?3)?f(x)，当x?(0时，f(x)?ln(x2?x?1)，则函数f(x)在区间?0，6?上的零点个数为（）A．6个B．7个C．8个D．9个

　　6

　　．已知函数f(x)?。给出下列四个判断：

　　2?；（1）f(x)的值域是?0，（2）f(x)的图像是轴对称图形；

　　（4）方程f?

　　f(x)??D．4个（3）f(x)的图像是中心对称图形；其中正确的判断有（A．1个B．2个）C．3个

　　二、填空题（每小题6分，共36分）

　　7．已知集合A??(x，y)(x?2014)2?(y?2014)2?1?，B??(x，y)若A?B，则实数a的取值范围为。x?2014?2y?2014?a?，

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　　8．如图，在等腰直角三角形ABC中，CA?CB?4，D、E分别为AC、AB

　　的中点。将△ADE沿DE折起，使得折起后二面角A?DE?B为60?。则折起后

　　四棱锥A?DEBC的体积为

　　9．已知函数f(x)?log2(

　　为。

　　10．△ABC中，已知AB?

　　4，若CA?CB，则△ABC面积的最大值为

　　为。

　　12．不等式2x?8?6?log2x的解集为。11．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c，若对任意x??0，2?均有f(x)?2成立，则b的最大值。2x?1的图像关于点A对称，则点A的坐标三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）

　　13．2?上的最小值g(a)的表达式。（本题满分16分）求二次函数f(x)?ax2?2x?1在区间?1，

　　14．（本题满分16分）已知两个同心圆C1：x2?y2?4和C2：x2?y2?16，P圆C2上一点。过点P作圆C1的两条切线，切点分别为A、B。

　　（1）若P

　　点坐标为?，求四边形OAPB的面积。

　　（2）当点P在圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB相切？若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由。

　　15.（本题满分16分）如图，在△ABC中，AD为?A的平分线

　　且与BC交于点D，E为AD中点，F、G为BE、CE上的点，且

　　?AFC??AGB?90?。

　　求证：?FBG??GCF。

　　16．（本题满分16分）给出5个互不相同的实数，若这5个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数，求证：这5个数的平方都是有理数。

　　17．2，，3?，13?，集合B是A的子集，且集合B中任意两（本题满分14分）（1）设集合A??1，

　　数之差都不等于6或7。问集合B中最多有多少个元素？

　　2，，3?，2014?，集合N是M的子集，且集合N中任意两数之差都不等于6（2）设集合M??1，

　　或7。问集合N

　　中最多有多少个元素？