高中数学竞赛讲义放缩法技巧全总结教师版

　　高中数学竞赛讲义—— 放缩技巧

　　证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

　　一、裂项放缩 例1.(1)求?解:(1)因为

　　n

　　的值; (2)求证:?1?5.

　　22

　　3k?1kk?14k?1n

　　2

　　212n 211,所以n

　　?1??????2

　　2n?12n?14n2?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1k?14k?12

　　n

　　111?25?111?,所以?1?1?2????????1?? ????2???2

　　2n?12n?1?33?3514n2?1k?1kn2?2n?12n?1?n2?

　　4

　　(2)因为114

　　技巧积累:(1)

　　1441? ?1???2???n4n4n?1?2n?12n?1?

　　(2)

　　1211

　　???2

　　CCn(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)

　　1n?1

　　n!11111(3)Tr?1?Cnr?1? (4)(1?1)n?1?1?1?1???1?3 ?????(r?2)

　　n2?13?2n(n?1)nrr!(n?r)!nrr!r(r?1)r?1r

　　1111 (6) (5) (7)2(n?1?n)?1?2(n?n?1) ?n?2?n??

　　2n(2n?1)2n?12nn?2n

　　2(8) ??

　　?2n?1

　　?

　　11?111?11? ?11?111 (9)??,?????????n?

　　k(n?1?k)?n?1?kk?n?1n(n?1?k)k?1?nn?1?k?2n?3?2(2n?1)?2n?1(2n?3)?2n

　　(10)

　　n11 (11)122???(2n?1?2n?1)??

　　(n?1)!n!(n?1)!nn?1?n?1

　　211

　　n??n?22

　　(11) (12)

　　2n2n2n2n?111

　　?n?n?n?n?1?n(n?2) n2nnn?1

　　(2?1)(2?1)(2?1)(2?1)(2?2)(2?1)(2?1)2?12?1

　　1n3

　　?

　　1n?n2

　　?

　　?11

　　???

　　n(n?1)(n?1)?n(n?1)?

　　?1??

　　n(n?1)??

　　1

　　n?1?n?1

　　11?n?1?n?111 ????????

　　n?1?2nn?1n?1?n?1

　　(13)

　　(14)

　　k?211 (15) ??

　　k!?(k?1)!?(k?2)!(k?1)!(k?2)!

　　i2?j2

　　(i?j)(i?1?

　　2

　　1

　　?n?n?1(n?2)

　　n(n?1)

　　i?ji?1?

　　2

　　(16) i2?1?j2?1?

　　i?j

　　j?1)

　　2

　　?

　　j?1

　　2

　　?1

　　111111171例2.(1)求证:1?1?1???(2)求证:? ????????(n?2)2222

　　4163624n4n62(2n?1)35(2n?1)

　　(3)求

　　11?31?3?51?3?5???(2n?1)证:??????22?42?4?62?4?6???2n

　　2n?1?1

　　n

　　2

　　n?1

　　2n12n

　　?2?2?(3?1)?2?3?3(2?1)?2?2?1??n?

　　32?13

　　n

　　n

　　n

　　n

　　(4) 求证：2(n?1?1)?1?1?1???1?2(2n?1?1)

　　2n解:(1)因为

　　111?11?,所以 ?????

　　(2n?1)2(2n?1)(2n?1)2?2n?12n?1?

　　?(2i?1)

　　i?1

　　n

　　1

　　2

　　111111 ?1?(?)?1?(?)232n?1232n?1

　　(2)1?1?1???1?1(1?1???1)?1(1?1?1)

　　222

　　4

　　16

　　36

　　4n

　　4

　　2

　　n

　　4

　　n

　　1

　　(3)先运用分式放缩法证明出1?3?5???(2n?1)?

　　2?4?6???2n

　　12n?1

　　,再结合

　　1??2?n

　　进行裂项,最后就可以得到答案

　　(4)首先1?2(n?1?n)?

　　n

　　2n?1?2,所以容易经过裂项得到2(n?1?1)?1?

　　?

　　n?

　　211?n?22

　　12

　　?

　　1???

　　1n

　　再证1

　　n

　　?(n?1?n?1)?

　　而由均值不等式知道这是显然成立的，

　　2n?1?2n?1

　　所以1?

　　12

　　?

　　13

　　???

　　1n

　　?2(2n?1?1)

　　例3.求证:

　　6n1115

　　?1?????2?

　　(n?1)(2n?1)49n3

　　11?25 ?1111?,所以n1解: 一方面: 因为1?1?4?2??1?2??????1????????22

　　k352n?12n?13312n?12n?1??n24n?1k?1??n2?

　　4

　　另一方面: 1?1?1???1?1?1?1???

　　2

　　4

　　9

　　n

　　2?3

　　3?411n

　　?1??

　　n(n?1)n?1n?1

　　当n?3时,

　　当n?2时,所以综上有

　　6n111n6n,当n?1时,?1?????2?

　　(n?1)(2n?1)49nn?1(n?1)(2n?1)

　　,

　　6n111

　　?1?????2,

　　(n?1)(2n?1)49n

　　6n1115

　　?1?????2?

　　(n?1)(2n?1)49n3

　　例4.已知n,m?N?,x??1,Sm?1m?2m?3m???nm,求证: nm?1?(m?1)Sn?(n?1)m?1?1. 解:首先可以证明:(1?x)n?1?nx

　　nm?1?nm?1?(n?1)m?1?(n?1)m?1?(n?2)m?1???1m?1?0??[km?1?(k?1)m?1]所以要证

　　k?1n

　　n

　　m?1

　　?(m?1)Sn?(n?1)m?1?1只要证:

　　m?1

　　?[k

　　k?1

　　n

　　m?1

　　?(k?1)

　　]?(m?1)?k?(n?1)

　　mk?1

　　n

　　n

　　m?1

　　?1?(n?1)

　　m?1

　　?n

　　m?1

　　?n

　　m?1

　　?(n?1)

　　m?1

　　???2

　　m?1

　　?

　　1m?1

　　??[(k?1)m?1?km?1]

　　k?1

　　n

　　故只要证

　　?[km?1?(k?1)m?1]?(m?1)?km??[(k?1)m?1?km?1],

　　k?1

　　k?1

　　k?1

　　nn

　　即等价于km?1?(k?1)m?1?(m?1)km?(k?1)m?1?km?1,

　　即等价于1?m?1?(1?1)m?1,1?m?1?(1?1)m?1 而上式是成立的,所以原命题成立.

　　k

　　k

　　k

　　k

　　例5.已知an

　　?4n?2n,Tn

　　32n

　　,求证:T1?T2?T3???Tn?. ?

　　2a1?a2???an

　　1?4

　　1?2

　　3

　　nn

　　解:S?41?42?43???4n?(21?22???2n)?4(1?4)?2(1?2)?4(4n?1)?2(1?2n)

　　n

　　所以

　　2n2n3?2n32n

　　Tn??n?1?n?1?n?1??

　　n44424?3?2n?1?222?(2n)2?3?2n?1(4?1)?2(1?2n)??2?2n?1??2n?133333

　　2n

　　2

　　?

　　32n3?11? ???n?n?1?nn

　　2(2?2?1)(2?1)2?2?12?1?

　　从而T1?T2?T3???Tn?

　　3?11111?3

　　?n?1?? ?1??????n

　　2?3372?12?1?2

　　1

　　?

　　例6.已知x1?1,x??n(n?2k?1,k?Z),求证:

　　1

　　???

　　1

　　?

　　2(n?1?1)(n?N*)

　　n??n?1(n?2k,k?Z)

　　4

　　x2?x34

　　x4?x54

　　x2nx2n?1

　　证明:

　　1?

　　1

　　?

　　1

　　1

　　x2n?1

　　(2n?1)(2n?1)

　　?

　　1

　　4n2

　　?1

　　4n

　　2

　　?

　　2?n

　　?

　　22nx2n

　　,

　　因为

　　2n?n?n?1,所以

　　1

　　4

　　?

　　?

　　2n2n?1

　　2?

　　?2(n?1?n)

　　所以

　　14

　　?1???1

　　?2(n?1?1)(n?N*) x2?x34x4?x54x2nx2n?1

　　变式.求证：ln2ln3ln4ln3n5n?6

　　2?3?4???3n?3n?6

　　(n?N*).

　　解:先构造函数有n

　　lnx?x?1?lnxx?1?1x,从而ln22?ln33?ln44???ln33n?3n?1?(12?13???13

　　n

　　)

　　12?13???1?11??111111??1

　　11?3n???2?3?????4?5?6?7?8?9???????2

　　n?2n?1???3n???56???3?6?3?9?????9?18?9??27???????3n?1?2?3n?1?3n?1?5n 3n???

　　?6所以ln2n

　　?ln3?ln4???ln3?3n?1?5n?3n?5n?62

　　3

　　4

　　3

　　n

　　6

　　6

　　二、函数放缩

　　例7.求证:(1)2???2

　　??2,ln2??ln33????lnnn?

　　?2n?n?12(n?1)(n?2)

　　解:构造函数?2

　　2f(x)?lnxx,得到lnnn??lnnn2,再进行裂项lnnn2?1?1n2

　　?1?1n(n?1),求和后可以得到答案

　　函数构造形式: lnx?x?1,lnn??n??1(??2)

　　例8.求证:

　　12?13???1n?1?ln(n?1)?1?112???n

　　解:提示:ln(n?1)?lnn?1n?nn?1???21?lnn?1n?lnnn?1???ln2

　　例9.求证:(1?

　　12!)(1?13!)???(1?1n!)?e和(1?19)(1?181)???(1?1

　　3

　　2n)?.解:构造函数后即可证明 例10.求证:(1?1?2)?(1?2?3)???[1?n(n?1)]?e2n?3 解析:ln[n(n?1)?1]?2?3n(n?1)?1

　　, 叠加之后就可以得到答案

　　例11. 已知a1?1,a1n?1?(1?

　　n2?n)an?1

　　2

　　n

　　.证明an?e2

　　3

　　解: an?1?(1?1111)an?n?(1??n)an, n(n?1)n(n?1)22

　　然后两边取自然对数,可以得到lnan?1?ln(1?11?n)?lnan n(n?1)2

　　1?然后运用ln(x)?x和裂项可以得到答案) 1111lna?ln(1??)?lnan? ?)a?n?12nn2nn?n2n?n2放缩思路：an?1?(1?

　　?lnan?

　　n?111?n2?n2nn?1。于是lnan?1?lnan?11?， n2?n2n11?()n?1 111112(lnai?1?lnai)??(2?i)?lnan?lna1?1???2??n?2.?nn2i?i2i?1i?11?2

　　2即 n1nlna?lna?2?a?e.

　　n注：题目所给条件ln(1?x)?题还可用结论2x（x?0）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本?n(n?1)(n?2)来放缩：

　　11)an??an?1?1?(1?1)(an?1)? n(n?1)n(n?1)n(n?1)

　　n?1n?1an?1?(1?11 ln(an?1?1)?ln(an?1)?ln(1?)?.?n(n?1)n(n?1)

　　2?[ln(ai?1?1)?ln(ai?1)]??i?2i?211 ?ln(an?1)?ln(a2?1)?1??1，i(i?1)n即ln(an?1)?1?ln3?an?3e?1?e.

　　三、分式放缩 姐妹不等式:b?b?m(b?a?0,m?0)和b?b?m(a?b?0,m?0) aa?maa?m

　　111例12. 姐妹不等式:(1?1)(1?)(1?)?(1?)?2n?1和(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?1也可以表示成352n?12462n2n?1

　　1为2?4?6??2n?2n?1和1?3?5???(2n?1)? 2?4?6???2n1?3?5???(2n?1)2n?1

　　bb?m解: 利用假分数的一个性质?(b?a?0,m?0)可得 aa?m

　　1352n?12462n3572n?1?(2n?1) ???? ???????2462n1352n?12462n

　　1112462n2(1?1)(1?)(1?)?(1?)?2n?1. (???)?2n?1即?352n?11352n?1

　　111例13.证明:(1?1)(1?)(1?)?(1?)?33n?1. 473n?2

　　解析: 运用两次次分式放缩:

　　2583n?13693n ① ??????.?????1473n?22583n?1

　　2?5?8???3n?1?4.7?10????3n?1 ② 相乘,可以得到: 1473n?2369

　　23n3n?1?47103n?11473n?2?258???????(3n?1) ????????.?????3n?2?2583n?12583n?1?147

　　所以有(1?1)(1?1)(1?1)?(1?1)?3n?1. 473n?2

　　4

　　四、分类放缩： 例14.求证:1?1?1???

　　2

　　3

　　1n

　　? 2?12

　　n

　　解析: 1?1?1???

　　2

　　31111n1n11111111

　　?1??(?)?(3?3?3?3)???(n?n???n)?n??(1?n)?

　　22244222222?12222

　　n

　　例15.已知函数f(x)?x2?bx?c(b?1,c?R)，若f(x)定义域、值域均为[－1，0]，数列{bn}满足bn?

　　f(n)

　　(n?N*)，3n

　　记数列{bn}的前n项和为Tn，问是否存在正常数A，使得对于任意正整数n都有Tn?A？并证明你的结论。

　　f(n)n2?2n1

　　?? 解:首先求出f(x)?x?2x,∵bn?n3n3n

　　2

　　∴Tn?b1?b2?b3???bn?1?1?1???1,∵1?1?2?1?1,1?1?1?1?4?1?1,…

　　2

　　3

　　n

　　3

　　4

　　4

　　25

　　67882

　　12

　　k?1k1111k

　　???k?2k?1?k?,故当n?2时,Tn??1,

　　?12?22222

　　?

　　k?1

　　因此，对任何常数A，设m是不小于A的最小正整数， 则当n?22m?2时,必有T?2m?2?1?m?A.

　　n

　　2

　　故不存在常数A使Tn?A对所有n?2的正整数恒成立.

　　?x?0,

　　例16. 设不等式组?y?0,表示的平面区域为Dn,设D内整数坐标点的个数为an.设Sn?1?1???1,

　　?an?1an?2a2n?y??nx?3n?

　　n

　　当n?2时,求证:1?1?1???1?7n?11.

　　a1a2a3a2n36

　　解:容易得到an?3n,所以,要证1?1?1???1?7n?11只要证S?1?1?1???1n?7n?11,因为

　　2

　　23212a1a2a3a236

　　n

　　n

　　11111111111

　　S2n?1??(?)?(???)???(n?1?n?1???n）?1??T2?T2???T2

　　23456782?12?222

　　1

　　2

　　n?1

　　?

　　377n?11,∴命题得证

　　?(n?1)?21212

　　五、借助数列递推关系 例17.求证:

　　11?31?3?51?3?5???(2n?1)

　　??????2n?2?1 22?42?4?62?4?6???2n

　　解: 设an?1?3?5???(2n?1)则an?12?4?6???2n

　　?

　　2n?1

　　an?2(n?1)an?1?2nan?an,从而

　　2(n?1)

　　an?2(n?1)an?1?2nan,相加后就可以得到

　　a1?a2???an?2(n?1)an?1?2a1?2(n?1)?

　　12n?3

　　?1?(2n?2)?

　　12n?2

　　?1

　　所以

　　例18. 若a1

　　11?31?3?51?3?5???(2n?1)??????2n?2?1 22?42?4?62?4?6???2n

　　a1

　　?

　　11

　　????2(n?1?1) a2an

　　?1,an?1?an?n?1,求证:1

　　解: an?2?an?1?n?2?an?an?1?1?1?an?2?an

　　an?1

　　5

　　∴1?1???1?1?an?1?an?a2?a1?2n?1an?a2?2n?1?2 a1a2ana1

　　六、分类讨论

　　例19.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1),n?1.证明：对任意的整数m?4， 有1?1???1?7

　　a4a5am8

　　n解:容易得到an?2?2n?2?(?1)n?1?., 由于通项中含有(?1)，很难直接放缩，考虑分项讨论： 3

　　n?2n?11131132?2当n?3且n为奇数时 ??(n?2?n?1)??2n?3n?1n?2anan?122?12?122?2?2?1n

　　32n?2?2n?1311 ??，于是 ??(?)（减项放缩）222n?22n?122n?3

　　①当m?4且m为偶数时1?1???1?1?(1?1)???(1?1) a4a5a6am?1

　　131111311137??(3?4???m?2)????(1?m?4)???. 222224288222a4a5amam

　　②当m?4且m为奇数时1?1???1?1?1???1?1（添项放缩）由①知a4a5amam?1a4a5am

　　11117??????.由①②得证。

　　a4a5amam?18

　　七、线性规划型放缩

　　x?1.若对一切例20. 设函数f(x)?2

　　2x?R，?3?af(x)?b?3，求a?b的最大值。 x?2

　　22解:由(f(x)?1)(f(1)?1)??(x?2)(x?1)知(f(x)?1)(f(1)?1)?0 即 ?1?f(x)?1

　　2222(x?2)22

　　由此再由f(x)的单调性可以知道f(x)的最小值为?1，最大值为1

　　2

　　?a?b??3?a?b?31????3??a?b?3 即a，?3?af(x)?b?3的充要条件是，b因此对一切x?R，满足约束条件， ?12???a?b??3??3?a?b?3?2??1??a?b?3?2

　　由线性规划得，a?b的最大值为5．

　　?11?例21.记min?a,b,c?为a,b,c中的最小值，若x,y为任意正实数，则M?min?2x,,y??的最大值为

　　?yx?

　　八、均值不等式放缩

　　2n(n?1)(n?1) 例22.设Sn??2?2?3???n(n?1).求证?Sn?. 22

　　解: 此数列的通项为ak?k(k?1),k?1,2,?,n.

　　nnk?k?111?k?k(k?1)??k?，??k?Sn??(k?)， 222k?1k?1

　　即n(n?1)?Sn?n(n?1)?n?(n?1).

　　22222

　　注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab?

　　a?b，若放成26

　　，就放过“度”了！ 22k?1

　　②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 a???aa2???a2n

　　11???a1an?k(k?1)?k?1则得Sn??(k?1)?(n?1)(n?3)?(n?1)a1?an?1nn2n?1nn

　　其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

　　4x11 例23.已知函数f(x)?，求证：f(1)?f(2)???f(n)?n??.x1?42n?12

　　x解: f(x)?4?1?x1?4111 ?1?(x?0)?f(1)???f(n)?(1?)2?21?4x2?2x

　　1111111?(1?)???(1?)?n?(1????n?1)?n?n?1?. 2n4222?22?222

　　例24.已知f(x)?ex?e?x,求证:f(1)?f(2)?f(3)???f(n)?(e

　　x1n?1?1) n2x1x211ee1x2x1?x2解:f(x1)?f(x2)?(e?x)?(e?x)?e????ex1?x2?1 x2x1x1x212eeeee?e

　　经过倒序相乘,就可以得到f(1)?f(2)?f(3)???f(n)?(e

　　例25.已知f(x)?x?n?1?1) n21nn,求证:f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2(n?1) x

　　1k2n?1?k1解:(k?1)(2n?1?k?)?k(2n?1?k)????2(2n?1?k)?2 k2n?1?k2n?1?kkk(2n?1?k)

　　其中:k?1,2,3,?,2n,因为k?2n?k(1?k)?2n?(k?1)(2n?k)?0?k(2n?1?k)?2n

　　11)(2n?1?k?)?2n?2 k2n?1?k 所以(k?

　　从而[f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)]2?(2n?2)2n,所以f(1)?f(2)?f(3)???f(2n)?2n(n?1)n. 例26.若k?7,求证:Sn?

　　解:2Sn?(1?n11113??????. nn?1n?2nk?121111111)?(?)?(?)???(?) nk?1n?1nk?2n?2nk?3nk?1n

　　11411因为当x?0,y?0时,x?y?2xy,1?1?2,所以(x?y)(?)?4,所以??, xyx?yxyxyxy

　　当且仅当x?y时取到等号. 所以2Sn?44444n(k?1) ??????n?nk?1n?1?nk?2n?2?nk?3n?nk?1n?nk?1

　　11113 所以S?2(k?1)?2(k?1)?2?4?3所以Sn???????

　　nnn?1n?2nk?12k?1k?121?k?n

　　九．部分放缩(尾式放缩)

　　1114例27.求证: ?????3?13?2?13?2n?1?17

　　11111111解: 左边??????????111?47?48?4 473?2n?1?1283?223?2n?1?28?3?1848471?2

　　7

　　11

　　例28. 设an?1?1a?a???a,a?2.求证：an

　　3n2

　　解: an?1?

　　于是a

　　?2.

　　?

　　111

　　??， k(k?1)k?1k

　　111111

　　?a???a?1?2?2???2.又k2?k?k?k(k?1),k?2，?1a23n23nk2

　　?1?

　　n

　　111111111

　　?2???2?1?(1?)?(?)???(?)?2??2. 2

　　n223n?1n23n

　　十、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强，如要证明f(x)?A,只要证明f(x)?A?B(B?0),其中B通过寻找分

　　析,归纳完成. (ii)双向加强 欲证明A?f(x)?B,只要证明:A?C?f(x)?B?C(C?0,A?B). 例29.求证:对一切n(n?N*),都有?

　　k?1n

　　1kk

　　?3.

　　1

　　?

　　k?1)k

　　?1??

　　k(k?1)??

　　1?

　　???1?

　　解:

　　1kk

　　?

　　?????

　　1k3

　　?

　　1k(k2?1)

　　?

　　?1

　　??

　　(k?1)k(k?1)??

　　?????

　　1k?1?

　　?1

　　?

　　1k?1?

　　k?1?

　　2

　　?1

　　k?1

　　1

　　?

　　k?1)k1

　　k(k?1)1??k?1

　　?k?1

　　?

　　1?11?2k11从而n11111111111 ???????1???????????1????3?2245k?1k?1kk?1k??1k?1?2k?1k?1k?1k1

　　1

　　?

　　k?111???????k2

　　?1? ?111??1?11????????????2????1????1??

　　当然本题还可以使用其他方法,如:

　　k?

　　所以

　　?k

　　k?1

　　n

　　1k

　　?1??

　　k?2

　　n

　　1kk

　　?1?2(1?

　　1

　　)?3. kan

　　例30.已知数列{an}满足:a?1,a?a?1,求证:2n?1?an?n?2(n?2).

　　1n?1n解: 两边平方得,an

　　2

　　?an?1?2,∴an2?(an2?an?12)?(an?12?an?22)???(a22?a12)?a12?2(n?1)?1?2n?1,

　　2

　　2

　　所以an?2n?1又an

　　2?1?2,所以an???an?1?a???ak?1?3

　　n?1??

　　2

　　?an?1?3,所以有

　　2

　　222222

　　an?(an?an?1)???(a2?a1)?a1?3(n?1)?1?3n?2所以an?n?2 所以综上有2n?1?an?n?2(n?2).

　　?an?满足a1?2,an?1?an?2,Sn为数列?an?的前n项和变式：已知数列

　　2an

　　（1）.2?an?2(1?

　　1

　　)（;2）.求证：Sn?2n?2n?14

　　1

　　?an?,求证:

　　an

　　2

　　引申:已知数列{an}满足:a1?1,an?1解:由上可知an?n?1,又 从而

　　n

　　?a

　　k?1

　　n

　　1

　　k

　　?

　　1

　　2n?1.

　　?

　　22n?1?2n?3

　　?2n?1?2n?3

　　n?1?

　　2n?1?n?3,所以1?

　　2an

　　2n?1

　　n111又当时,,所以综上有n?1?1??1?????2n?1?2n?3?2n?1(n?2)??a1k?1akk?1ak

　　2n?1.

　　?an?,an

　　记Sn

　　?0,a1?0,an?12?an?1?1?an2(n?N?).

　　111

　　.求证:当n?N?时. ????

　　1?a1(1?a1)(1?a2)(1?a1)(1?a2)?(1?an)

　　?a1?a2???an,Tn?

　　(1)an?an?1; (2)Sn?n?2; ★(3)Tn

　　?3.

　　8

　　解:(1)a22

　　n?1?an?1?an?1,猜想an

　　?1,下面用数学归纳法证明:

　　(i)当n?1时,a1?1,结论成立;

　　(ii)假设当n?k(k?1)时,a2

　　k?1,则n?k?1(k?1)时,ak?1

　　?ak?1?1?a2

　　k

　　从而a2

　　k?1?ak?1?2?an?1?1,所以0?ak?1?1 所以综上有0?a2

　　2

　　n?1,故an?1?an?0?an?1?an (2)因为a2n?1?a2n?1?a2

　　22222

　　n?1则a2?a1?1?a2,a3?a2?1?a3,…, an?1?an?1?an?1,

　　相加后可以得到:

　　a2

　　2

　　?n?(a2

　　n?1?a12?a3???an?1)?Sn?1?n?an?1,所以

　　Sn?1?a2

　　n?n?n?2,所以Sn?n?2

　　(3)因为a22an

　　n?1?an?1?1?a2n?2an,从而an?1?1?a,有1a?an?1,所以有 n?11?n?12an

　　1

　　aa)(1?a?n?1?n?a3an?1,从而 (1?a?n?

　　3)?(1?ann?1)2an2an?12a122a2

　　1?an?11an

　　?1,所以 (1?a?a1?an?1???11)(12)(1?a3)?(1?an)(n?1)2a21?a22n1?an1an

　　(1?an-2??n?2

　　,所以 1)(1?a2)(1?a3)?(1?an)2a21?a22T11?a?3?a42???an11112n?1?

　　an?2

　　?1???2???n?2?1

　　?1?1?3 22221?a22225? 所以综上有Tn?3.

　　例31.已知数列{a3an2?n}的首项a?3,an?1?1．(1)证明:对任意的x?0,152aan≥11?x?1?(1?x)2??3n

　　?x?; n??

　　(2)证明:2

　　a1?a2???an?nn?1

　　.

　　解析:(1)依题,容易得到a3n2

　　n?2?3n?1?3

　　n

　　,要证x?0,a1?1?2n≥

　　?x??,n?1，2，?1?x(1?x)2?,

　　?3n

　　?

　　即证1?21?23

　　n

　　?11?x

　　?

　　(1?x)2??3n?x?1?1?

　　?221 ??1?x?3n(1?x)

　　2

　　?(1?x)2即证2n1?x?2?33n(1?x)2?23n

　　?1?0,设t?1所以即证明1?x?(t)??2?3n

　　2

　　3n?t2?2t?3n?1?0(0?t?1)

　　从而?(1)?0,即?2?3n3n?2?2

　　3

　　n

　　?1?0,这是显然成立的. 所以综上有对任意的x?0,a11?2?n≥1?x?(1?x)2??3n

　　?x?,n?1，2，? ?

　　(法二) 1?

　　1?2?11?x(1?x)2??3n?x??

　　?1?x?1?2(1?x)2??3n

　　?1?1?x?? ? 9

　　?1?

　　1?x1(1?x)2

　　2

　　?1?1?1?21≤an,?原不等式成立． ?(1?x)???a????n??an?an?1?x??an?1?xan(1?x)

　　(2)由(1)知，对任意的x?0，有

　　a1?a2???an≥

　　11?2?11?211?2??n1?222?． ??x????x??????x????2???n?nx?2?2?22?n2?1?x(1?x)?3?1?x(1?x)?31?x(1?x)?33??1?x(1?x)?33?

　　2?1?

　　1?n??nn2n2． ?取1?222?3?3?1?1?，则x?n??3?32???3n???n??1??1??a1?a2???an≥

　　1?1???n?1?1??n?3n?

　　3?

　　?

　　1?n??1?3??n?1?3?原不等式成立．

　　例32. 已知函数f?

　　x?fx??0,???.对任意正数a,证明：1??x??2．

　　解析:对任意给定的a?0,x?0,

　　由f(x),

　　若令 b?

　　8ax，则 abx?8① ,而 f?

　　x??② （一）、先证f?x??

　　1111

　　?1?x

　　1?a

　　?1?b， 又由

　　2?a?b?x??8 ，得

　　a?b?x?6．

　　所以f?

　　x???11?x?11

　　?

　　3?2(a?b?x)?(ab?ax?bx)

　　1?a?

　　1?b

　　(1?x)(1?a)(1?b)

　　?

　　9?(a?b?x)?(ab?ax?bx)1?(a?b?x)?(ab?ax?bx)?abx

　　(1?x)(1?a)(1?b)?(1?x)(1?a)(1?b)

　　?1．

　　（二）、再证f?x??2；由①、②式中关于x,

　　a,b的对称性，不妨设x?a?b．则0?b?2

　　（ⅰ）、当a?b

　　?7，则a?5，所以x?a?5，因为

　　?1，

　　1，此时f?

　　x??

　　?2． （ⅱ）、当a?b?7③，由①得 ,x?

　　8ab

　　?

　　因为 12

　　1?1bbb22

　　?[1] 所以

　　?1?

　　b

　　?b1?b4(1?b)2?(1b)

　　2(1?b)④

　　?f?

　　x??2?1?ab1?a⑤ ，于是

　　2(1?a)2???1?a?1?b?⑥ 今证明

　　a1?a?b1?b?, 因为

　　a1?a?b1?b?， 只要证

　　abab，即

　　(1?a)(?1b?

　　)ab?8

　　ab?8?(1?a)(1?b)，也即 a?b?7，据③，此为显然．

　　10

　　因此⑦得证．故由⑥得

　　f(x)?2．

　　综上所述，对任何正数a,x，皆有1?f?x??2．

　　例33.求证:1?1n?1?1n?2???13n?1?2

　　解:一方面:1n?1?1n?2???13n?1?12???1?3?1?4???12?24

　　?1 (法二)1

　　n?1

　　?

　　111??11??11?1??n?2???3n?1?2?? ???n?1?3n?1?????n?2?3n???????1

　　?3n?1?n?1????

　　?

　　1?4n?24n?24n?? 2????(3n?1)(n?1)?3n(n?2)???2

　　(n?1)(3n?1)???

　　??2n?1??????111

　　??(2n?1)2(2n?1)2?n2?(2n?1)2?(n?1)2???(2n?1)2?n2?

　　?(2n?1)2?1

　　? 另一方面:1?1???1?2n?1?1?2n?2n?1n?23n?1nn?1?2

　　例34. 已知函数f?x?的定义域为[0,1]，且满足下列条件：

　　① 对于任意x?[0,1]，总有f?x??3，且f?1??4；② 若x1?0,x2?0,x1?x2?1,则有f?x1?x2??f?x1??f(x2)?3.（Ⅰ）求f?0?的值；（Ⅱ）求证：f?x?≤4；

　　（Ⅲ）当x?(1,1n?1](n?1,2,3,???)时，试证明：f(x)?3x?3. 3n

　　3

　　解析: （Ⅰ）解：令x1?x2?0，由①对于任意x?[0,1]，总有f?x??3， ∴f(0)?3

　　又由②得f(0)?2f(0)?3,即f(0)?3; ∴f(0)?3.

　　（Ⅱ）解：任取x1,x2?[0,1],且设x1?x2, 则f(x2)?f[x1?(x2?x1)]?f(x1)?f(x2?x1)?3, 因为x2?x1?0，所以f(x

　　2

　　?x1)?3，即f(x2?x1)?3?0,

　　∴f(x1)?f(x2).

　　∴当x?[0,1]时，f(x)?f(1)?4.

　　（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：f(13

　　n?1)?13

　　n?1

　　?3(n?N*)

　　（1） 当n=1时，f(13

　　)?f(1)?4?1?3?13

　　?3，不等式成立；

　　0（2） 假设当n=k时，f(

　　11

　　3k?1)?3k?1

　　?3(k?N*)由f(

　　13k?1

　　)?f[11113333(11

　　111k?(k?k)]?f(k)?f3k?3

　　k)?3 ?f(3)?f(3)?f(3)?6

　　得3f(1)?f13

　　(

　　3)?6?1 3

　　?9.

　　即当n=k+1时，不等式成立

　　由（1）、（2）可知，不等式f(

　　1)?1

　　对一切正整数都成立. 33

　　?3于是，当x?(

　　13n,13n?1](n?1,2,3,???)时，3x?3?3?111

　　3n?3?3n?1?3?f(3

　　n?1)，

　　11

　　而x?[0,1]，f?x?单调递增 ∴f(

　　11)?f() 所以，f(x)?f(1)?3x?3. nn?1n?1333

　　12