2011线性代数试卷A标准答案和评分标准

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2010-2011学年第2学期 考试科目：线性代数 试类型：（闭卷）考试 考试时间：120分钟

学号 姓名 年级专业

一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题

的选项中，只有一项符合要求，把所选项前的字母填在题中括号内

1. 设矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（B）成立

(A) AB = AC，A 0，则B = C (B) AB = AC，A可逆，则B = C (C) A可逆，则AB = BA (D) AB = 0，则有A = 0，或B = 0

2. 设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2= I，其中I为单位阵（下同），则必有（C）

(A) A的行列式等于1

(B) A的逆矩阵等于I (C) A的秩等于n (D) A的特征值均为1

3．设向量组 1, 2, 3, 4线性相关，则向量组中（A）

(A) 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 (B) 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 (C) 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 (D) 每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

4．设n元齐次线性方程组Ax 0的系数矩阵A的秩为r，则Ax 0有非零解的

充分必要条件是（B）

(A) r n

(B) r n

(C) r n

(D) r n

5. 设A为n阶方阵，A 0，A*是A的伴随矩阵。则：A*等于 (C)

(A) A

(B)

1 A

(C) A

n 1

(D) A

n

1

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二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

a21

6. 已知行列式230 0，则数a =3.

1 11

7. 设向量组 1 (k,1,1)T, 2 (1, 2,1)T, 3 (1,1, 2)T线性相关，则数k = 2. 8. 设 ( 1,1,5, 3)T, ( 9, 2,3, 5)T,则 与 的距离为9，内积为37. 9. 设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1, 2, …, n，则使tI A为正定矩阵的数t取值范围是t n．

200 100

020 则x 0，2x210. 设矩阵A和B相似，其中A = ，B =

311 00y

y 2.

三、计算题

212 61

102 ，C 22 ，计算01011.(满分8分) 设矩阵 A ，B 1 20 002 42 BAT C.

212 11 61 0 2 22

010解答：BAT C= 002 42 20 60 61 01

= 20 2 =0 2 2

42 40 02

AT计算正确2分，BAT正确4分， BAT C 2分

1 2 … n x 1 x 2 … n 12.（满分8分）计算行列式 D = 1 2 x … n 的值。 … … … … 1 2 3 … x

解：将D的各列全部加到第一列，得

2

1 x 2 … n 1 1 2 … n

D = (x+1+2+…+n) 1 2 x … n （3分） 1 … … … … 1 0 2 3 … x0 … 01 x-1 0 … = (x+n(n+1) 0 2

) 1 1 x-2 … 0 … … … … … （ 2分） 1 1 1 … x-n

= (x+n(n+1)2

)(x-1)(x-2)…(x-n) （ 3分）

1 4 3

13.(满分7分) 设 A 1 5 3 , 求 A 1

. 164

[解]：(A I)= 1 -4 -3 1 0 0 1 -5 -3 0 1 0

（ 2分）

-4 -3 -1 1 0 6 0 4 0 0 1

→ 1 0 -1 0 -1 1 0

0 2 1 1 0 1 1 0 -3 5 -4 0→

0 1 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 -1 2 2 2 31 → 1 0 1 0 1 -1 0

, （ 4分） 0 0 1 -1 2 1

所以 A-1

= 2 2 3 1 -1 0

. （ 1分）

-1 2 1

用公式法酌情给步骤分

四、解答题

14.(满分10分) 已知方程组

x1 x2 ax3 1

x1 x2 2x3 1

x1 ax2 x3 a2

有无穷多解，求a以及方程组的通解。

解法一：由方程组有无穷多解，得R(A) R(A|b) 3，因此其系数行列式

3

1|A| 1

1

即a 1或a 4。（3分）

1a

12 0a

1

。

当a 1时，该方程组的增广矩阵

10

11 1 1 01

(A|b) 1 12 1

00 1 111

1 3

0 2

00

12

于是R(A) R(A|b) 2 3，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个

13

T1 100 基础解系 22 ，原方程组的一个特解，故a 1时，方程组有无穷多解，其通解为

T

1

当a 4时增广矩阵

00

T

13

k 1

22 ， （4分）

T

114 1 114 1

(A|b) 1 12 1 0 2 20

00015 14116 ，

R(A) 2 R(A|b) 3，此时方程组无解。 （3分）

解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。

1a 1 11 11a 1 1

(A|b) 1 12 1 0 22 a0 0 2

2 2

1a1a 0a 11 aa 1 00

a 1

2 a0

1

(1 a)(4 a)a2 1 2

4

1

由于该方程组有无穷多解，得R(A) R(A|b) 3。因此2(1 a)(4 a) a2 1 0

，

即a 1。求通解的方法与解法一相同。

15.（满分10分）求向量组

TTTT

1 0,4,10,1 ， 2 4,8,18,7 ， 3 10,18,40,17 ， 4 1,7,17,3 的一个最大无关组，且将不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示出来．

04101 173 48187 17

1, 2, 3, 4

10184017 04101 0 20 50 5 17173 0 52 130 13

15 17173 17173 10

1 17173 4 04101 0 101

21 04101 4101 0000 01 44 015

4 04101 0000 0000 2 0000 0000

000

0

所以 1, 2为向量组 1, 2, 3, 4的一个最大无关组. （6分） 153 2 1 2

2 （2分） 514 4 1 4

2 （2分）

16.(满分6分) A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|I+A|=|2I-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；

（2）A是否可相似对角化？说明原因。 （3）求|A+3I|。 解：

（1）由I A 2I A 0知-1，2为A的特征值。

AB 2B 0 (A 2I )B，故-2为A的特征值，又B的秩为2，即特征值-2

有两个线性无关的特征向量，故A的特征值为-1，2，-2，-2。 （2分）

（建议只求出-1，2也给2分）

5