2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案

第一节 导数概念

1．填空题. （1）

f (0)= 0；

（2） (2, 4) （3） 1 .

（4） a 2 ，b -1 . 2．选择题.

（1）B ； （2）B ； （3） C； （4）D； （5） B； （6）B 3．解 令v(t)表示在t时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知

s t s 2 t t2 (2 22)

v(2) s(2) lim lim lim(1 t 2) 5.

t 2t 2t 2t 2t 2

'

4．设

求f a ；若g(x) |x a| (x)，g x x 在x a处连续，f x x a x ，

在x a处可导吗？ 解（1）因为

x 在x a处连续， 故lim (x) (a)，所以

x a

f'(a) lim

x a

f x f a (x a) x 0

lim lim (x) (a). x ax ax ax a

（2）类似于上面推导知

'

g (a) lim

g x g a (x a) x 0

lim (a),

x ax a x ax a

g x g a (x a) x 0'

g (a) lim lim (a).

x a x a x ax a

'

'

'

可见当 a 0时，g a (a) 0；当 a 0时，g a g (a)， 故这时g x 在x a处不可导。 5．求曲线y

x4 3在点 1, 2 处的切线方程和法线方程.

k1 y'|x 1 4x3|x 1 4,

解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为

从而所求切线方程为

y ( 2) 4(x 1), 即 y 4x 6.

所求法线的斜率为

k2

于是所求法线方程为

11 , k14

1

(x 1), 417

即 y x .

44

y ( 2)

x 1

, x 0

6．证明函数f x 在点x 0处连续，但不可导. x

0 , x 0

1

x

x 1 0 f(0)，又易知limf(x) 0 f(0)，f(x) lim lim证明 因lim

x 0 x 0 x 0 x 0_

xx

故f x 在点x 0处连续。

h 1

而f '(0) lim

h 0

f h f 0 lim

h 0 h

h

h

0

1h

,， lim

h 0

h故右导数不存在.

7. 设f(x) x(x 1) (x 100)，求f'(0). 解 由导数定义知

f'(0) lim

x 0

f x f 0 x(x 1)(x 2) (x 100) 0

lim 100!. x 0xx

第二节 函数的求导法则

1．选择题.

（1） D； （2）D； （3） A； 2．求下列函数的导数.

（1）y 3 x ln2. 解 y 3ln3 3x. （2）y x2cosx

'

x3'x2

x.

1

3

2

1 1

s x) x( sinx x2) 2xcosx x2sinx 2x2. 解 y 2x(cox

22

（3）y x 1 x 2 x 3 .

解 y' x 2 x 3 (x 1)[(x 2)(x 3)]'

(x 2)(x 3) (x 1)(x 3 x 2) 3x 12x 11.

(4) y xsinx axex(a 0,a 1). 解

2

1 3'

y xsinx x3cosx (axlna)ex axex

31

x3sinx x3cosx axexlnae() 3

（5）y x2cotxlnx. 解

2

1

21

y' 2xcotxlnx x2(cotxlnx)'

1

2xcotxlnx x2( csc2xlnx cotx)

x

2xcotxlnx x2csc2xlnx xcotx.

（6）y xesecx.

解 y esecx x(esecx esecxtanx) esecx(1 x xtanx). 3．设y

'

x

x

x

x

x

xlnx

dydy1

，求及

dxdxx

3

.

x 1

3

dy11 21 2

解 lnx x ( )x lnx 1 x,

dxx22

因而

dy

dx

1

x 1

11 . 22

4. 在下列各题中，设

f(u)为可导函数，求

dy. （1）y f[f(sinx cosx)].

解 y f[f(sinx cosx)]f(sinx cosx)(cosx sinx).

'

'

'

（2）y fexef x .

解 y' f'(ex)exef(x) f(ex)ef(x)f'(x) [ef(x)f'(ex) f'(x)f(ex)]ef(x). 5. 设

f(1 x) xe x且f(x)可导，求f (x).

解 把方程两端分别对x求导，得:

f'(1 x) ( 1) e x xe x ( 1) e x(1 x), 令1 x y, 则f'(y) yey 1, 即 f'(x) xex 1. 6. 设

f(u)为可导函数，且f(x 3) x5，求f (x 3)和f (x).

解 把方程两端分别对x求导，得f'(x 3) 5x4, 进而f'(x) 5(x 3)4.

第三节 高阶导数

1． 填空题.

（1）y 10x，则y n 0 (ln10)n（2）y

n n

sin2x，则y x 2nsin(2x ) ..

2

2． 选择题.

（1） C； （2） D； 3. 求下列函数的n阶导数.

(1) y (1 x). 解 y (1 x)

'

1

, y" ( 1)(1 x) 2, ,

y(n) ( 1) [ (n 1)](1 x) n.

(2) y 5.

解 y 5ln5, y 5(ln5), , y4．计算下列各题. （1）y

'

x

"

x

2

(n)

x

5x(ln5)n.

1 4

，求y 2 .

xx 1

11

解 将原题改写为y

x 1 x

, 则y' (x 1) 2 ( 1)x 2, y'' 2!(x 1) 3 2!x 3, y''' 3!(x 1) 4 ( 1)3!x 4, y(4) 4!(x 1) 5 4!x 5, 于是y(4)(2) 4![(2 1) 5 2 5]

934

. （2）y

ex x2 1

，求y 20 .

解 y' ex x2 1

ex 2x ex(x2 2x 1),

y'' ex x2 2x 1

ex (2x 2) ex(x2 4x 1), y''' ex x2 4x 1

ex (2x 4) ex(x2 6x 5),

依此类推可用数学归纳法证明, 对一切自然数n有

y(n) ex[x2 2nx (n 1)n 1],

将20代入得y(20) ex(x2 40x 379). 注：本题也可用莱布尼茨公式计算.

第四节 隐函数及由参数方程所确定的

函数的导数 相关变化率

1． 设x2y e2x siny，求

dydx

. 解 把方程两边分别对x求导，得

2xy x2

dydx 2e2x cosy dydx

, dy2(e2x 故 xy)

dx x2 cosy

.

2． 设x3

y3

sin3x 6y 0，求dy

dx. x 0

解 把方程两边分别对x求导，得

3x2 3y2

dydx 3cos3x 6dydx

0, dyco3sxdx x2

故y2 2

.

*） （