函数定义域与思维品质

函 数 定 义 域 与 思 维 品 质

摘要：思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高我们的数学思维品质是十分有益的。

关键词： 思维品质 函数 定义域

Abstract: Quality of the thought is particular exterior performance of the individual thinking activity,which includes hermeticness, flexibility, thorough, criticalness and agility of thought and so on.

Function is the master line of high school mathematics and penetrates the entire high school mathematics.The domain of function(the scope of variable permissible value scope )is one of the two big essential factors of function, which looks like very simple. However, if we pay no attention on it in the procession of solving the question, we will frequently meet trouble.Emphasizing function and the influence of domain in the conclusionof solving the problem can improves our quality of mathematics thought. Key word: thought quality Function domain of definition

0引言： 思维是智力的核心，正确认清思维结构和品质，是科学地运用思维方法和提高学习效率的关键。思维是一个多侧面、多形态、多水平、多联系的多维结构，林崇德教授称之为“三棱”结构。它包括思维的目的、过程、材料、品质、环境和监控。其中，思维品质是区分一个人思维乃至智力层次、水平高低的指标，因而成为我们发展其智力与能力的突破口。“数学是一门理性思维的科学”。(怀特·威廉语)可以说，数学的核心是思维。人们在数学学习过程中，数学思维在不断地发生与发展。由于学习者个体的差异。表现出数学思维水平(包括数学思维的质与量)的差异性。这种思维水平的差异性是以数学思维品质为其标志的。 如果人们有意识地强化学习者的数学思维，则必将促进思维水平的提高。相应地，作为数学思维水平标志的数学思维品质也随之发生变化、发展。这从实质上说，就是数学思维品质的培养。

1 数学思维品质的主要表现形式

数学思维品质其主要的表现有以下五个方面：严密性、灵活性、批判性、深刻

性、敏捷性。思维品质的这五个方面是相互联系、相互依存的。它们是作为数学思维的统一体的几个方面。

1.1 数学思维的严密性

思维的严密性是指表达应准确无误，判断应充分有据，思维应既符合逻辑的基本规律，又展现出形象思维的闪光点。数学思维的严密性是指思考问题符合逻辑且严密、准确，数学运算准确无误。思维严密是思维质量高低进而影响人的行为优劣的基本素质。思维严密性高的人自信，可信，思维严密性低的人不自信，不可信。

1.2 数学思维的灵活性

思维的灵活性是指思考问题、解决问题的随机应变程度。数学思维的灵活性，

又称思维的变通性，是指能根据客观条件的变化及时地改变和调整固有的思维形式，摆脱思维定势的影响，从多方面、多角度寻找解决问题的途径。思维灵活的具体表现是，在当问题的情况与条件发生变化时，思维能够打破旧框框，提出新办法。这一品质与思维的敏捷性联系密切，可以说，没有敏捷性，就没有灵活性。在工作、学习、生活中，有的人遇事足智多谋，善于随机应变；而有的人脑筋僵化，惯于墨守成规。例如，有的学生在解题时，不喜欢套用现成的公式，而愿意开动脑筋，尽管题目变化很大，都能应付自如，独立解决。这说明该学生的思维具有较大的灵活性。

1.3 数学思维的批判性

思维的批判性是指善于批判地评价他人的思想与成果，也善于批判地对待自己

的思想与成果。数学思维的批判性是指思维活动中，善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的品质。批判性思维是一种实事求是、周到、缜密的思维。批判性的思维能够吸取别人的长处和优点，吸取别人的思想的精华，而摒弃别人的短处和缺点，摒弃别人思想的糟粕。它还能够严格地检查自己思想的进程及其结果，缜密地验证自己所提出的种种设想或假说，在没有确证其真实性之前，决不轻易相信这就是真理。在批判性上，有的人思维具有较强的批判性，能辩证地分析一切。有的人思维缺乏批判性，不能辩证地分析事物。在学习中，有的学生敢于同教师争论，敢于向权威挑战，把“吾爱吾师，吾更爱真理”的格言作为座右铭，这便是有思维批判性的表现。相反，有的学生，迷信教师和书本，把权威的话当作金口玉言，这便是缺乏思维批判性的表现。

1.4 数学思维的深刻性

思维的深刻性指思维的深度。数学思维的深刻性，是指在分析问题、解决问题的过程中，能够探求所研究问题的实质，以及问题之间的相互联系。它集中地表现在是否善于深入地思考问题，抓住事物的规律和本质，预见事物的发展和进程。这一品质要求人们具有精深的知识。一个知识浅薄的人，其思维的深刻性较差。在思维的深刻性方面，有的人思考问题善于打破沙锅问到底，非弄个明白，但又不钻牛角尖；而有的人思考问题往往很肤浅，一知半解。一般说来，那些好学深思、不耻下问的学生，其思维是深刻的；而那些不求甚解的学生，其思维则具有肤浅的不良品质。

1.5 数学思维的敏捷性

思维的敏捷性是指思维过程的速度或迅速程度。数学思维的敏捷性是指思维过

程中的简缩性和快速性，表现为思考问题时的敏锐快速反应、善于运用直觉思维、善于把问题转换化、善于使用数学模式,。思维敏捷是指人们在短时间内当机立断地根据具体情况做出决定，迅速解决问题的思维品质。古人所谓“眉头一皱，计上心来”，便是思维敏捷的一种表现。在日常生活和工作中，有的人遇事胸有成竹，善于迅速做出判断，但又不流于匆忙草率；有的人遇事优柔寡断，或草率行事。

数学思维品质是指主体的数学思维活动对客观事物数学关系的理解和掌握的程

度或水平，其特征表现为数学思维的严密性、深刻性、灵活性和批判性等。值得注意的是数学思维智力品质有明显的后天性，是在主体思维发展的进程中逐步形成和稳定的，因而在其形成和发展时期具有可培养性和可变性.数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而思维能力反映在通常所说的思维品质上，它是数学思维结构

中的重要部分。思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，因此在数学学习中要重视对学生良好的思维品质的培养。

历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。定义域、对应法则和值域是构成函数的三个基本要素 .其中定义域是首要“构件” ,是处理函数问题的前提条件 .因此 ,在解有关函数问题时 ,要优先考虑定义域 ，并注意发挥定义域在解题中的简化与监控作用。

2 函数定义域中数学思维品质的体现

2.1 函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函

数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的

面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为(50－x)米，由题意得：

S x(50 x)

故函数关系式为：S x(50 x)．

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就

说我们的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：