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二重积分的计算

上传者:刘仁茂
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上传时间:2017-06-03
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二重积分的计算

  二、利用极坐标计算二重积分

  1.变化公式

  ??f(x,y)dxdy???f(?cos ,?sin )?d?d

  DD

  上式称为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,?d?d 就是极坐标中的面积元素。

  补充:直角坐标与极坐标的关系

  二重积分的计算1

  x?rcos

  y?rsin

  r?x2?y2

  (其中,r即为课本中的?)

  2.极坐标下的二重积分计算法

  1) 情形一

  二重积分的计算2

  6

  积分区域D的形式:极点在积分区域的外部 D:?? ??,?1( )????2( ) 其中函数?1? ?,?2? ?在??,??上连续

  则:

  ??Df(?cos ,?sin )?d?d

  ??? ?

  ??d ??0f(?cos ,?sin )?d?d 2) 情形二

  积分区域D上,?1? ??0,即极点在积分区域的边界上。 此情形为情形一的特殊形式。

  D:?? ??,0????? ?

  因此: D???????? ? ??f(?cos ,?sin )?d?d

  ??2? ???d ?f(?cos ,?sin )?d?d ??1( )

  3) 情形三

  积分区域D的形式:极点在积分区域的内部 此情形为情形二的变形。

  方法:将D剖分成D1,D2两部分

  D

  二重积分的计算3

  二重积分的计算4

  7

  二重积分的计算5

  二重积分的计算6

  其中:

  D1:0? ??,0????? ?

  D2:?? ?2?,0????? ?

  ?D:0? ?2?,0????? ?

  则:

  f(?cos ,?sin )?d?d ??

  2????d ?00

  D ? ?f(?cos ,?sin )?d?d

  2

  D: x?y2?4

  ?x?1?2?y2?1

  ???

  DD???大圆D?? 小圆

  二重积分的计算7

  二重积分的计算8

  D??y??d??????0(对称性) 大圆D大圆??2?d ?2r216

  00dr?3?

  二重积分的计算9

  ??0

  D??=D??小圆小圆

  ??2cos

  d r2dr?32?09 所以:

  二重积分的计算10

  ??

  二重积分的计算11

  y?d??16

  D9?3??2?

  9

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