二重积分的计算
二、利用极坐标计算二重积分
1.变化公式
??f(x,y)dxdy???f(?cos ,?sin )?d?d
DD
上式称为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式，其中，?d?d 就是极坐标中的面积元素。
补充：直角坐标与极坐标的关系
x?rcos
y?rsin
r?x2?y2
(其中，r即为课本中的?)
2.极坐标下的二重积分计算法
1) 情形一
6
积分区域D的形式：极点在积分区域的外部 D：?? ??,?1( )????2( ) 其中函数?1? ?,?2? ?在??,??上连续
则：
??Df(?cos ,?sin )?d?d
??? ?
??d ??0f(?cos ,?sin )?d?d 2) 情形二
积分区域D上，?1? ??0，即极点在积分区域的边界上。 此情形为情形一的特殊形式。
D:?? ??,0????? ?
因此： D???????? ? ??f(?cos ,?sin )?d?d
??2? ???d ?f(?cos ,?sin )?d?d ??1( )
3) 情形三
积分区域D的形式：极点在积分区域的内部 此情形为情形二的变形。
方法：将D剖分成D1,D2两部分
D
7
其中：
D1:0? ??,0????? ?
D2:?? ?2?,0????? ?
?D:0? ?2?,0????? ?
则：
f(?cos ,?sin )?d?d ??
2????d ?00
D ? ?f(?cos ,?sin )?d?d
2
D： x?y2?4
?x?1?2?y2?1
???
DD???大圆D?? 小圆
D??y??d??????0(对称性） 大圆D大圆??2?d ?2r216
00dr?3?
??0
D??＝D??小圆小圆
??2cos
d r2dr?32?09 所以：
??
y?d??16
D9?3??2?
9
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