§2 幂级数
大学数学课件加习题
§2 幂 级 数
【考试要求】
1. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.
2. 理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.
3. 了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性，逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会
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由此求出某些数项级数的和.
4. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.
x
sinx，cosx，5. 掌握e，ln(1 x)及(1 x)
的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.
一、基本概念 1. 函数项级数
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称 un(x)(其中un(x)定义于数集I上)为
n 1
函数项级数，称sn(x) uk(x)为函数项级数
k 1
n
的部分和.
2. 收敛与发散
若limsn(x0)存在(x0 I)，则称x0为级数
u(x)的收敛点，否则称x为发散点.称级数
n
n
n 1
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u(x)收敛点的全体为该级数的收敛域I.若
n
n 1
收敛域是一个区间，则称此区间为收敛区间，称s(x) limsn(x)为级数 un(x)的和函数，其
n
n 1
定义域为级数的收敛域I0，记作
u(x) s(x)，x I.
n
n 1
3.幂级数
大学数学课件加习题
称 an
n(x x0)或 an
nx为幂级数.
n 0
n 0
4. 泰勒级数
若f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
f(xf (x)2
0) f (x0)(x x0) 2!
(x x0)
f(n)
(x)n!
(x xn0)
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数，则称
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