§2 高阶微分方程

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§2 高阶微分方程

大学数学课件加习题

§2 高阶微分方程

【考试要求】

1. 会用降阶法解下列形式的微分方程： n

y f x ,y f x,y 和y f y,y (数学三不要求).

2. 理解线性微分方程解的性质及解的结构.

3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解

大学数学课件加习题

法.

会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程(数学三不要求).

4. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

5. 会解欧拉方程(数学二、三不要求).

一、基本概念

大学数学课件加习题

1. 高阶微分方程：二阶或二阶以上的微分方程.

2. 降阶法：对于高阶微分方程，如果通过代换将它化为较低阶的方程，这种方法称为降阶法.

3. 线性微分方程：形如 n n 1

（4） y p1(x)y pn 1(x)y pn(x)y f x 的微分方程称为n阶线性微分方程，其中

pi(x) i 1,2,,n 及f(x)为连续函数.

大学数学课件加习题

当f(x) 0时，（4）式成为 n n 1

y p1(x)y pn 1(x)y pn(x)y 0,（5）称（5）式为n阶齐次线性微分方程; 而当

f(x) 0时，称（4）式为n阶非齐次线性微分方程.

二、重要定理、性质及解法

1. 可降阶的高阶微分方程及其解法(数三不要求)

⑴ y f x ，逐次积分得通解.

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⑵ y f x,y （不显含未知函数y）. 解法令y p，则y p ，则原方程可化为一阶微分方程 p f x,p .

解之得通解p x,C1 ，即y x,C1 , 积分得原方程通解为 y x,C1 dx C2. ⑶ y f y,y （不显含自变量x）.

解法令y p，y dpdydydx pdp

，

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