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§2 高阶微分方程

上传者:敖珺
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上传时间:2015-04-15
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§2 高阶微分方程

大学数学课件加习题

§2 高阶微分方程

【考试要求】

1. 会用降阶法解下列形式的微分方程: n

y f x ,y f x,y 和y f y,y (数学三不要求).

2. 理解线性微分方程解的性质及解的结构.

3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解

大学数学课件加习题

法.

会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程(数学三不要求).

4. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

5. 会解欧拉方程(数学二、三不要求).

一、基本概念

大学数学课件加习题

1. 高阶微分方程:二阶或二阶以上的微分方程.

2. 降阶法:对于高阶微分方程,如果通过代换将它化为较低阶的方程,这种方法称为降阶法.

3. 线性微分方程:形如 n n 1

(4) y p1(x)y pn 1(x)y pn(x)y f x 的微分方程称为n阶线性微分方程,其中

pi(x) i 1,2,,n 及f(x)为连续函数.

大学数学课件加习题

当f(x) 0时,(4)式成为 n n 1

y p1(x)y pn 1(x)y pn(x)y 0,(5)称(5)式为n阶齐次线性微分方程; 而当

f(x) 0时,称(4)式为n阶非齐次线性微分方程.

二、重要定理、性质及解法

1. 可降阶的高阶微分方程及其解法(数三不要求)

n

⑴ y f x ,逐次积分得通解.

大学数学课件加习题

⑵ y f x,y (不显含未知函数y). 解法 令y p,则y p ,则原方程可化为一阶微分方程 p f x,p .

解之得通解p x,C1 ,即y x,C1 , 积分得原方程通解为 y x,C1 dx C2. ⑶ y f y,y (不显含自变量x).

解法 令y p,y dpdydydx pdp

dy

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