§2 高阶微分方程
大学数学课件加习题
§2 高阶微分方程
【考试要求】
1. 会用降阶法解下列形式的微分方程： n
y f x ,y f x,y 和y f y,y (数学三不要求).
2. 理解线性微分方程解的性质及解的结构.
3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解
大学数学课件加习题
法.
会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程(数学三不要求).
4. 会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.
5. 会解欧拉方程(数学二、三不要求).
一、基本概念
大学数学课件加习题
1. 高阶微分方程：二阶或二阶以上的微分方程.
2. 降阶法：对于高阶微分方程，如果通过代换将它化为较低阶的方程，这种方法称为降阶法.
3. 线性微分方程：形如 n n 1
（4） y p1(x)y pn 1(x)y pn(x)y f x 的微分方程称为n阶线性微分方程，其中
pi(x) i 1,2,,n 及f(x)为连续函数.
大学数学课件加习题
当f(x) 0时，（4）式成为 n n 1
y p1(x)y pn 1(x)y pn(x)y 0,（5）称（5）式为n阶齐次线性微分方程; 而当
f(x) 0时，称（4）式为n阶非齐次线性微分方程.
二、重要定理、性质及解法
1. 可降阶的高阶微分方程及其解法(数三不要求)
n
⑴ y f x ，逐次积分得通解.
大学数学课件加习题
⑵ y f x,y （不显含未知函数y）. 解法 令y p，则y p ，则原方程可化为一阶微分方程 p f x,p .
解之得通解p x,C1 ，即y x,C1 , 积分得原方程通解为 y x,C1 dx C2. ⑶ y f y,y （不显含自变量x）.
解法 令y p，y dpdydydx pdp
dy
，
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